Question

8．如图所示，两根相距L=0.20m的平行光滑金属长导轨与水平方向成θ=30°角固定，匀强磁场的磁感强度B=0.20T，方向垂直两导轨组成的平面，两根金属棒ab、cd互相平行且始终与导轨垂直地放在导轨上，它们的质量分别为m₁=0.01kg，m₂=0.02kg，两棒电阻均为R=0.20Ω，导轨电阻不计，取g=10m/s²．
（1）要使cd棒静止，ab应怎样运动？
（2）当ab棒在平行于导轨平面斜向上的外力F作用下，以v₁=15m/s速度沿斜面匀速向上运动时，求金属棒cd运动的最大速度及外力F的大小．

Answer 1

分析 （1）要使cd静止，受力应平衡，对cd棒，根据平衡条件和安培力公式得到电路中电流，再对ab棒研究，根据安培力与速度的关系式求解ab运动的速度．
（2）释放cd棒后，cd棒沿导轨平面向下做加速运动，回路abdc中产生的感应电动势逐渐增大，感应电流逐渐增大，cd所受的安培力增大，合力减小，加速度减小，当合力减小到零时，cd棒做匀速直线运动，速度达到最大，回路中的电流也达到最大．分别以ab和cd为研究对象，由平衡条件求出最大电流．此时回路中感应电动势为ab与cd两棒所产生的感应电动势之和，由欧姆定律和公式电动势结合求解最大速度．

解答 解：（1）对cd棒，有  ILB=m₂gsinθ                        
对ab棒，有 $I=\frac{BLv}{2R}$，$\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2R}={m_2}gsinθ$，代入得：$\frac{{{{0.2}^2}×{{0.2}^2}v}}{2×0.2}=0.02×10×\frac{1}{2}$
所以解得ab棒运动速度大小为v=25m/s，速度方向沿斜面向上．
（2）ab棒产生的感应电动势 E₁=BLv₁=0.2×0.2×15V=0.6V
设cd棒运动的速度为v₂，cd棒产生的感应电动势 E₂=BLv₂
由于ab棒速度v₁＜25m/s，则cd棒沿斜面向下运动，电路中的电流 ${I_2}=\frac{{{E_1}+{E_2}}}{2R}=\frac{{BL（{v_1}+{v_2}）}}{2R}=\frac{{0.2×0.2（15+{v_2}）}}{2×0.2}=\frac{{15+{v_2}}}{10}$
对cd棒，在沿斜面向下运动的最大速度时，有  I₂LB=m₂gsinθ
代入得 $\frac{{15+{v_2}}}{10}$×0.2×0.2=0.02×10×0.5，得cd棒的最大速度 v₂=10m/s
此时，对ab棒，有  F-mgsinθ-I₂LB=0                 
其中I₂=$\frac{{15+{v_2}}}{10}$=$\frac{15+10}{10}=2.5$A
外力  F=m₁gsinθ+I₂LB=0.01×10×0.5+2.5×0.2×0.2=0.15N        
答：
（1）要使cd棒静止，ab应沿斜面向上以25m/s的速度匀速运动．
（2）金属棒cd运动的最大速度是10m/s，外力F的大小为0.15N．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，综合运用电磁学知识和力平衡知识．对于第（2）问是两棒切割磁感线类型，要注意回路中感应电动势等于两棒产生的感应电动势之和．