Question

19．如图所示，质量为m的小物块，从半径为R₁的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道顶端A点由静止开始下滑，经最低点B后沿水平地面BC运动，然后进入另一个半径为R₂的光滑圆形轨道，并且小物块恰好能经过轨道最高点D．已知m=0.2kg，R₁=0.8m，R₂=0.2m，BC段长为L_BC=2.5m，g取10m/s²．求：

（1）运动到B处时小物块对轨道的压力
（2）小物块在C点时的速度大小
（3）水平面的动摩擦因数．

Answer 1

分析 （1）根据A到B运动过程机械能守恒求得B点的速度，然后应用牛顿第二定律即可求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据恰好通过D点，应用牛顿第二定律求得D点的速度，然后根据C到D的运动过程机械能守恒求得C点的速度；
（3）根据B、C两点的速度，应用动能定理即可求得动摩擦因数．

解答 解：（1）小物块由A到B的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，所以有：
$mg{R}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
在B点，由牛顿第二定律：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{{R}_{1}}=2mg$
代入数九解得：F_N=3mg；
由牛顿第三定律可知小物块在B点对轨道的压力为：N=F_N=3mg=6N；
（2）小物块恰好通过D点时，故在D点由牛顿第二定律：$mg=\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{{R}_{2}}$；
小物块从C到D，只有重力做功，故机械能守恒，所以有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+2mg{R}_{2}=\frac{5}{2}mg{R}_{2}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{5g{R}_{2}}=\sqrt{10}m/s$；
（3）小物块从B到C的运动过程只有摩擦力做功，故由动能定理可得：
$-μmg{L}_{BC}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{5}{2}mg{R}_{2}-mg{R}_{1}$；
解得：$μ=\frac{{R}_{1}-\frac{5}{2}{R}_{2}}{{L}_{BC}}=0.12$；
答：（1）运动到B处时小物块对轨道的压力为6N；
（2）小物块在C点时的速度大小为为$\sqrt{10}m/s$；
（3）水平面的动摩擦因数为0.12．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．