Question

1．光滑的平行金属导轨长L=2m，两导轨间距d=0.5m，轨道平面与水平面的夹角θ=30°，导轨上端接一阻值为R=0.6Ω的电阻，轨道所在空间有垂直轨道平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B=1T，如图所示．有一质量m=0.5kg、电阻r=0.4Ω的金属棒ab，放在导轨最上端，其余部分电阻不计．已知棒ab从轨道最上端由静止开始下滑到最底端脱离轨道的过程中，电阻R上产生的热量Q₁=0.6J，取g=10m/s²，试求：
（1）当棒的速度v=2m/s时，电阻R两端的电势差U_ab；
（2）棒下滑到轨道最底端时速度v的大小；
（3）棒下滑到轨道最底端时加速度a的大小．
（4）整个过程流过R的电量q．

Answer 1

分析 （1）根据切割公式E=BLv求解感应电动势，然后根据闭合电路欧姆定律求解电阻R两端的电压；
（2）系统减小的机械能转化为电热能，根据能量守恒定律列式求解；
（3）根据切割公式E=BLv求解感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解电流，得到安培力，最后根据牛顿第二定律求解加速度；
（4）根据电荷量的计算公式求解电荷量．

解答 解：（1）速度v=2m/s时，棒中产生的感应电动势：E=Bdv=1V
电路中的电流，I=$\frac{E}{R+r}$=1A
所以电阻R两端的电压：U=IR=0.6V，
根据右手定则可得a端电势高，所以电阻R两端的电势差U_ab=0.6V；
（2）根据Q=I²Rt∝R，在棒下滑的整个过程中金属棒中产生的热量
Q₂=$\frac{r}{R}$Q₁=0.4J
设棒到达底端时的速度为v_m，根据能的转化和守恒定律，得：
mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q₁+Q₂
解得：v_m=4m/s；
（3）棒到底端时回路中产生的感应电流I_m=$\frac{Bd{v}_{m}}{R+r}$=2A
根据牛顿第二定律有：mgsinθ-BI_md=ma
解得：a=3m/s²；
（4）根据电荷量的计算公式可得：q=It=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLd}{R+r}$，
解得：q=1C．
答：（1）当棒的速度v=2m/s时，电阻R两端的电势差为0.6V；
（2）棒下滑到轨道最底端时速度v的大小为4m/s；
（3）棒下滑到轨道最底端时加速度a的大小为3m/s²；
（4）整个过程流过R的电量为1C．

点评 对于电磁感应现象中涉及电路问题的分析方法是：确定哪部分相对于电源，根据电路连接情况画出电路图，结合法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律、以及电功率的计算公式列方程求解．