Question

10．空间某区域内存在水平方向的匀强磁场，在磁场区域内有两根相距l₁=0.8m的平行金属导轨PQ、MN，固定在竖直平面内，如图所示．PM间连接有阻值为R₀=1Ω的电阻；QN间连接着两块水平放置的平行金属板a、b，两板相距l₂=0.2m．一根电阻为r=3Ω的细导体棒AB，导体棒与导轨接触良好，不计导轨和连接导线的电阻．若导体棒AB以速率v向右匀速运动时，在平行金属板a、b之间有一个带电液滴恰好在竖直平面内以速率v做匀速圆周运动．重力加速度为g，求：
（1）液滴带什么电？为什么？
（2）若带电液滴在平行金属板间做匀速圆周运动且不与极板相碰，导体棒AB运动的速率v的取值范围（g取10m/s²）；
（3）对于给定的速率v，带电液滴做匀速圆周运动，从某点开始发生的位移大小等于圆周运动的直径时，所需的时间．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则得出金属棒上下极板的电势高低，抓住液滴做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，确定液滴的电性．
（2）根据圆周运动的最大半径，抓住液滴所受的重力和电场力，结合半径公式求出导体棒AB运动的速率范围．
（3）带电液滴从某点开始发生的位移大小等于圆周运动的直径，经历的时间$t=（k+\frac{1}{2}）T$，结合粒子在磁场中的周期公式求出所需的时间．

解答 解：（1）粒子带负电．
AB棒向右运动，由右手定则可知，棒内产生的感应电流方向由B到A，所以金属板的a板电势高，板间有由a指向b的匀强电场．
由于粒子所受的重力mg和电场力qE都是恒力，所以必有重力和电场力相平衡，而洛伦兹力提供向心力，即电场力必为竖直向上，故粒子必带负电．
（2）AB棒中的感应电动势为：E=Bl₁v，
电容器极板a、b上的电压就是电阻R₀上的电压，U=$\frac{E}{{R}_{0}+r}{R}_{0}$，
重力和电场力平衡，有：mg=$q\frac{U}{{l}_{2}}$，
粒子在极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
粒子的轨道半径满足$R≤\frac{{l}_{2}}{2}$，
解得：v≤1.0 m/s
（3）设带电液滴从某点开始发生的位移大小等于圆周运动的直径所需的时间为t，粒子做圆周运动的周期为T，则有：$t=（k+\frac{1}{2}）T$，（k=0，1，2…）
T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
解得：t=$（k+\frac{1}{2}）\frac{2πv}{g}$（k=0，1，2…）
答：（1）液滴带负电，AB棒向右运动，由右手定则可知，棒内产生的感应电流方向由B到A，所以金属板的a板电势高，板间有由a指向b的匀强电场．由于粒子所受的重力mg和电场力qE都是恒力，所以必有重力和电场力相平衡，而洛伦兹力提供向心力，即电场力必为竖直向上，故粒子必带负电．
（2）导体棒AB运动的速率v的取值范围为v≤1.0 m/s；
（3）从某点开始发生的位移大小等于圆周运动的直径时，所需的时间为t=$（k+\frac{1}{2}）\frac{2πv}{g}$（k=0，1，2…）．

点评 本题考查了电磁感应和带电粒子在复合场中的运动，注意液滴做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，抓住临界状态，选择合适的规律进行求解，有一定的难度．