题目内容

8．如图所示，AB是倾角为θ=45°的倾斜轨道，BC是一个水平轨道（物体经过B处时无机械能损失），AO是一竖直线，O、B、C在同一水平面上．竖直平面内的光滑圆形轨道最低点与水平面相切于C点，已知：A、O两点间的距离为h=1m，B、C两点间的距离d=2m，圆形轨道的半径R=1m．一质量为m=2kg 的小物体（可视为质点），从与O点水平距离x0=3.6m的P点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道．小物体与倾斜轨道AB、水平轨道BC之间的动摩擦因数都是μ=0.5，重力加速度g=10m/s2．
（1）求小物体从P点抛出时的速度v0和P点的高度H；
（2）求小物体运动到圆形轨道最点D时，对圆形轨道的压力大小；
（3）若小物体从Q点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，求Q、O两点的水平距离x的取值范围．

分析 （1）小物体从P到A做平抛运动，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，分析得到竖直分速度与水平分速度大小相等，由速度位移关系公式列式．再根据水平位移公式列式，联立求解即可．
（2）研究P到D的过程，由动能定理求出物体经过D点的速度，再由牛顿第二、第三定律结合得到物体对轨道的压力．
（3）小物体不能脱离轨道有两种情况：一种做完整的圆周运动，另一种只在下半个圆周上运动．求出最高点的临界速度．由机械能守恒定律和平抛运动的规律结合解答．

解答 解：（1）小物体从P到A做平抛运动，由题知，物体经过A点时速度平行于斜面向下，设物体经过A点时竖直分速度大小为vy．
则有 vy=v0tan45°=v0；
又 vy=$\sqrt{2g（H-h）}$，得 $\sqrt{2g（H-h）}$=v0；
水平距离 x0=v0t=v0$\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}$
联立解得 v0=6m/s，H=2.8m
（2）物体从P到D的过程，由动能定理得：
mg（H-2R）-μmgcos45°•$\sqrt{2}$h-μmgd=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律得
mg+N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得 N=24N
由牛顿第三定律知，物体对圆形轨道的压力大小为24N．
（3）要保证小物体不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：第一种情况，能通过最高点D．第二种情况，所能到达的最高点小于等于圆心的高度．
第一种情况，小球能通过最高点D时
设O、Q的水平距离为x1，恰好通过圆形轨道的最高点D．
小物体从Q点水平抛出后，恰好从A点以平行于斜面的速度进入倾斜轨道时，根据第1问可得小物体到达A点的速度 v′A=$\sqrt{2g{x}_{1}}$
恰好通过圆形轨道的最高点D时，只有重力充当向心力，得 mg=m$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
由动能定理得
-mg（2R-h）-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmgd=$\frac{1}{2}mv{′}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{′}_{A}^{2}$
代入数据解得 x1=3m
小物体能通过最高点D，所以O、Q的水平距离 x≥x1=3m
第二种情况，所能到达的高度小于等于圆心的高度时，设O、Q的水平距离为x2，恰好到达圆心高度．
小物体从Q点水平抛出后，恰好从A点以平行于斜面的速度进入倾斜轨道时，根据第1问可得小物体到达A点的速度 v″A=$\sqrt{2g{x}_{2}}$
恰好到达圆心的高度时，末速度为0
由动能定理得
-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmgd=0-$\frac{1}{2}mv{″}_{A}^{2}$
代入数据解得 x2=1.5m
设O、Q的水平距离为x3时，恰好到达圆形轨道处
小物体从Q点水平抛出后，恰好从A以平行于斜面的速度进入倾斜轨道时，根据第1问可得小物体到达A点的速度 v″′A=$\sqrt{2g{x}_{3}}$
恰好到达圆形轨道时，到C点的速度为0．
由动能定理得
-mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmgd=0-$\frac{1}{2}mv″{′}_{A}^{2}$
代入数据解得 x3=0.5m
小物体能进入圆形轨道，不脱离，O、Q的水平距离应满足：0.5m＜x≤1.5m
综上所述，若小物体从Q点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，Q、O两点的水平距离x的取值范围为：
0.5m＜x≤1.5m或x≥3m．
答：
（1）小物体从P点抛出时的速度v0是6m/s，P点的高度H是2.8m．
（2）小物体运动到圆形轨道最点D时，对圆形轨道的压力大小是24N．
（3）若小物体从Q点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，Q、O两点的水平距离x的取值范围为：
0.5m＜x≤1.5m或x≥3m．

点评 解决本题的关键分析物体的运动情况，抓住隐含的临界情况和临界条件，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，明确圆周运动向心力的来源．要注意考虑问题要全面，不能漏解．

练习册系列答案
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