题目内容
20．如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=0.20m，板间距d=0.20m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的电场，忽略其边缘效应．在金属板右侧有一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左右宽度d=0.40m，上下范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直．匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10-2T．现从t=0开始，从两极板左端的中点O处以每秒钟1000个的速率不停地释放出某种带正电的粒子，这些粒子均以vo=2.0×105 m/s的速度沿两板间的中线OO′射入电场，已知带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$=1.0×108C/kg，粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变．取x=3，sin37°=0.6，cos37°=0.8求：
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）在电压变化的第一个周期内有多少个带电的粒子能进入磁场；
（3）何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长？最长时间为多少？
分析 （1）根据牛顿第二定律，结合洛伦兹力提供向心力，即可求解；
（2）根据类平抛运动的处理方法，结合运动学公式，从而确定电压，进而得出运动的时间，即可求解；
（3）当粒子向下偏转，出射后恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中的圆心角最大，时间最长．根据牛顿第二定律，结合几何关系，及运动学公式，即可求解．
解答 解：（1）t=0时刻电压为零，粒子匀速通过极板由牛顿第二定律$Bq{v}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{{mv_0^{\;}}}{Bq}=0.2m＜D$所以出射点到入射点的距离为s=2r=0.4m
（2）考虑临界情况：粒子刚好不能射出电场
对类平抛过程：$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，$a=\frac{{U}_{0}^{\;}q}{dm}$，$l={v}_{0}^{\;}t$
联立解得${U_0}=\frac{{{d^2}mv_0^2}}{{q{l^2}}}=400V$
当$|{u}_{AB}^{\;}|＜{U}_{0}^{\;}$时，粒子可以射出电场，根据比例关系得第一个周期内能够出射的粒子数为$n=\frac{400}{500}×1000×T=3200$个
（3）当粒子向下偏转，出射后恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中的圆心角最大，时间最长．
设粒子在电场中的偏转角为θ：则$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=tanθ$，$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
磁场中圆周运动：$Bqv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
几何关系r+rsinθ=D
联立得：$\frac{BqD}{m{v}_{0}^{\;}}=1+sinθ\sqrt{1+ta{n}_{\;}^{2}θ}=\frac{1+sinθ}{cosθ}$
代入数据解得：sinθ=0.6即θ=37°，
又因为${v}_{y}^{\;}=\frac{Uq}{dm}•t={v}_{0}^{\;}tan37°$
$l={v}_{0}^{\;}t$
解得：U=300V
所以对应的入射时刻为t=4n+0.6（s）或t=4n+1.4（s）（n=0、1、2…）
在磁场中运动的最长时间为$△t=\frac{254}{360}T=\frac{254}{360}•\frac{2πm}{Bq}≈4.2×{10^{-6}}s$
答：（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离为0.4m；
（2）在电压变化的第一个周期内有3200个带电的粒子能进入磁场；
（3）当t=4n+0.6（s）或t=4n+1.4（s）（n=0、2、3…）时刻由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间为$4.2×1{0}_{\;}^{-6}s$
点评 考查粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，掌握运动处理的规律，理解这两种处理的方法，注意几何关系的正确运用，同时会画出运动的轨迹
如图所示，三个小球a、b、c分别从三个光滑斜面顶端由静止下滑，其中a、b所在的两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，a、c所在斜面底边相同，若球经过图上斜面转折点时无能量损失，则下列说法正确的是（ ）| A． | a比b后着地 | B． | a与c可能同时着地 | ||
| C． | a和b可能同时着地 | D． | a、b、c着地时速度大小可能相等 |
| A． | ①情况中F不做功 | B． | ②情况中F做功最多 | ||
| C． | ③情况中F做功最少 | D． | 四种情况下F做功一样多 |
如图所示，在真空中竖直平面内建立的xOy坐标系的第二象限中，有一个紧靠y轴且极板与x轴重合的平行板电容器，电容器上极板带正电、下极板带负电；y轴右侧有一以（R，0）为圆心、R为半径的圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里；在y=R的上方足够大的范围内，有电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场．一质子（不计重力）从电容器左侧两级板正中间平行x轴方向射入，恰好从坐标原点O沿x轴正方向斜向下成30°方向射入磁场，经过一段时间后由P点穿出磁场，最后由M点（P点和M点没有在图中标出）穿出y轴．已知质子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为R，质子的电荷量为e、质量为m．求；| A． | 两分子间的距离小于r0时，分子之间只有斥力的作用 | |
| B． | 两分子间的距离由r0逐渐变小时，分子的势能逐渐变大 | |
| C． | 两分子间的距离小于r0时，分子力对外表现为引力 | |
| D． | 两分子间的距离为r0时，分子势能最小 |
