题目内容

5．如图所示，质量为2m的小车静止于光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为是1.5R的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道下滑，重力加速度为g．
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力F；
（2）若不固定小车，求小车运动过程中的最大速度V；
（3）若不固定小车，且滑块和小车之间的摩擦因数μ=0.8，试分析滑块能否从C点滑出，求整个运动过程中小车的位移x．

分析 （1）当滑块运动到最低点时，滑块对小车的压力最大，根据机械能守恒定律求出物块到达B点的速度，结合牛顿第二定律得出支持力的大小，从而得出最大压力．
（2）若不固定小车，系统在水平方向上动量守恒，结合动量守恒定律和能量守恒定律求出小车运动过程中的最大速度．
（3）由于系统在水平方向上动量守恒，可知最终滑块和小车最后均静止，根据能量守恒求出相对位移的大小，判断出滑块未滑离小车，根据水平方向上的动量守恒，得出车和滑块的速度之比，结合位移公式得出整个过程中小车的位移．

解答 解：（1）从A到B，滑块速度最大，由机械能守恒定律得，mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
在B点，${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
所以由牛顿第三定律知F=F1，代入数据解得F=3mg，方向向下．
（2）从A到B，滑块的速度最大，mgR=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
水平方向动量守恒，mv1=2mv，
解得v=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，方向向左．
（3）假设滑块未从小车上滑出，设相对位移是s，
由水平方向动量守恒，滑块和小车最后均静止，μmgs=mgR，
所以s=1.25R＜1.5R，假设成立．
由水平方向动量守恒，任何时刻2mv车=mv块，
所以任意一段时间内车和滑块的平均水平速度之比为$\frac{1}{2}$，
所以任意一段时间内车和滑块的水平位移之比为$\frac{1}{2}$，所以车的位移为$x=\frac{1}{3}（R+1.25R）=\frac{3R}{4}$，方向向左．
答：（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力为3mg，方向向下．
（2）小车运动过程中的最大速度为$\sqrt{\frac{gR}{3}}$．
（3）整个运动过程中小车的位移为$\frac{3R}{4}$．

点评 本题考查了动量守恒定律和能量守恒的综合运用，知道小车不固定时，滑块和小车在水平方向上动量守恒，结合能量守恒和动量守恒进行求解，难度中等．

练习册系列答案
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