Question

14．在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变．放射出α粒子（${\;}_{2}^{4}H$）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R．以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量．
（1）放射性原子核用${\;}_{Z}^{A}X$表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程．
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小．
（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损△m．

Answer 1

分析 （1）由质量守恒及电荷守恒写出核反应方程；
（2）由粒子做圆周运动，洛伦兹力做向心力求得运动周期，进而根据一个周期通过的电量为粒子所带电荷量得到等效电流；
（3）由（2）求得α粒子的速度，再通过动量守恒求得新核的速度，进而求得两粒子的动能，即可得到衰变过程的核能，再由爱因斯坦质能方程即可求得质量亏损．

解答 解：（1）由质量守恒及电荷守恒可得该α衰变的核反应方程为${\;}_{Z}^{A}X$→${\;}_{Z-2}^{A-4}Y$+${\;}_{2}^{4}H$；
（2）α粒子做圆周运动，洛伦兹力做向心力，设圆周运动的速率为v，则有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
则圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$；
那么相当于环形电流在周期T内通过的电量为q，则等效环形电流大小$I=\frac{q}{T}=\frac{B{q}^{2}}{2πm}$；
（3）因为衰变时间极短，且衰变时内力远远大于外力，故认为在衰变过程中外力可忽略，则有动量守恒，设新核的速度为v′，则有：mv+Mv′=0；
由（2）可得：$v=\frac{BqR}{m}$，所以，$v′=-\frac{BqR}{M}$，则衰变过程使两粒子获得动能$E=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}Mv{′}^{2}$=$\frac{（BqR）^{2}}{2m}+\frac{（BqR）^{2}}{2M}=（\frac{1}{m}+\frac{1}{M}）\frac{（BqR）^{2}}{2}$；
由于衰变过程，质量亏损产生的核能全部转化为粒子的动能，故衰变过程的质量亏损$△m=\frac{E}{{c}^{2}}=（\frac{1}{m}+\frac{1}{M}）\frac{（BqR）^{2}}{2{c}^{2}}$；
答：（1）放射性原子核用${\;}_{Z}^{A}X$表示，新核的元素符号用Y表示，则该α衰变的核反应方程为${\;}_{Z}^{A}X$→${\;}_{Z-2}^{A-4}Y$+${\;}_{2}^{4}H$；
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，则圆周运动的周期为$\frac{2πm}{Bq}$，环形电流大小为$\frac{B{q}^{2}}{2πm}$；
（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，则衰变过程的质量亏损△m为损$（\frac{1}{m}+\frac{1}{M}）\frac{（BqR）^{2}}{2{c}^{2}}$．

点评 带电粒子在磁场中的运动，一般由洛伦兹力做向心力，进而求得速度、半径、周期等问题，然后根据几何关系求得粒子运动轨迹，进而求解．