Question

18．如图，一个质量为M的凹槽右侧紧挨着竖直的固定墙面，静止在光滑水平面上，凹槽的内表面ABC是半径为R的半圆光滑圆弧，AC是半圆的水平直径，B是半圆的最低点，一质量为m的小球从A点由静止开始下滑，已知m：M=2：3
（1）求小球第一次通过B点时的速度大小．
（2）以B为高度起点，小球第一次通过B点后能够到达的最大高度为多少？
（3）小球达到最高点后又返回B点时，小球与凹槽的速度各为多少？
（4）小球达到最高点后又返回B点时，小球对凹槽的压力为多大？

Answer 1

分析 （1）小球向B运动的过程中，只有重力做功，由动能定理即可求出速度；
（2）小球从B向C运动的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，到达最高点时，二者的速度相等，由动量守恒定律和机械能守恒即可求出；
（3）小球达到最高点后又返回B点的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，由动量守恒定律和机械能守恒定律即可求出．
（4）由牛顿第二定律求出支持力，然后由牛顿第三定律求出压力．

解答 解：（1）A到B的过程中重力做功，由动能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{2gR}$；
（2）小球从B向C运动的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，到达最高点h时，二者的速度相等，
选取向左为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=（m+M）v₁，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²+mgh，
解得：v₁=$\frac{2}{5}$v₀，h=$\frac{3}{5}$R；
（3）小球达到最高点后又返回B点的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，
选取向左为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=mu₁+Mv₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mu₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
解得：u₁=-$\frac{1}{5}$v₀，v₂=$\frac{4}{5}$v₀；
（4）由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{（{u}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R}$，
解得：F=3mg，由牛顿第三定律可知，压力：F′=F=3mg；
答：（1）小球第一次通过B点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$．
（2）以B为高度起点，小球第一次通过B点后能够到达的最大高度为$\frac{3}{5}$R．
（3）小球达到最高点后又返回B点时，小球与凹槽的速度分别为：-$\frac{1}{5}$v₀，方向向右、$\frac{4}{5}$v₀．
（4）小球达到最高点后又返回B点时，小球对凹槽的压力为3mg．

点评 本题是两个物体组成系统的动量守恒问题，由于研究的过程较多，所以难度系数稍微增大．该题只要按照规范的步骤逐步分析，即可正确解答．