Question

3．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两光滑半圆轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个质量均为m的小球夹住，但不拴接．同时释放两小球，弹性势能全部转化为两球的动能，若两球获得相等动能，其中有一只小球恰好能通过最高点，另一小球在最高点时对轨道的压力为mg，两球离开半圆轨道后均做平抛运动落到水平轨道的同一点（不考虑小球在水平面上的反弹，不计空气阻力）．则（　　）

• A． 恰好通过最高点的是b球
• B． a球、b球组成的系统机械能守恒
• C． 轨道半径R=$\frac{4}{3}$r
• D． CD两点之间的距离为$\frac{6+5\sqrt{2}}{3}$R

Answer 1

分析 小球恰好能通过最高点，在最高点，由重力提供向心力，则半径越大，到达最高点的动能越大，而两球初动能相等，其中有一只小球恰好能通过最高点，
所以是a球刚好到达最高点，此时对轨道的压力为零，分别对ab两球在最高点，根据牛顿第二定律列式结合机械能守恒定律列式求解半径关系，ab两球离开轨道后做平抛运动，CD的距离等于两球平抛运动的水平距离之和，根据平抛运动的基本公式即可求解CD的距离．

解答 解：A、由于两球离开轨道后均做平抛运动且均能经过最高点，a球的轨道半径大，到达最高点的速度小，故恰好通过最高点的是a球，故A错误；
B、a球、b球、弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，故B正确；
C、对于a球在最高点有$v=\sqrt{gR}$，b球在最高点有$2mg=m\frac{v{′}^{2}}{r}$，
由机械能守恒可得$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mg•2r$，解得$R=\frac{6}{5}r$，故C错误；
D、ab两球离开轨道后做平抛运动，CD的距离等于两球平抛运动的水平距离之和，根据平抛运动的基本公式得：
CD之间的距离为${l}_{CD}=\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×2R}{g}}+\sqrt{2gr}×\frac{2×2r}{g}$=$\frac{6+5\sqrt{2}}{3}R$，故D正确．
故选：BD

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、向心力公式、平抛运动基本公式的直接应用，过程较为复杂，要求同学们能正确分析小球的运动过程中，能根据基本规律解题，难度适中．