题目内容
9．
如图所示，真空中区域I和区域Ⅱ内存在着与纸面垂直的方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．在区域II的上边界线上的N点固定一负的点电荷，并采取措施使之只对区域II以上空间产生影响．一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，自区域I下边界线上的O点以速度v0垂直于磁场边界及磁场方向射入磁场，经过一段时间粒子通过区域Ⅱ边界上的O'点，最终又从区域I下边界上的P点射出．图中N、P两点均未画出，但已知N点在O′点的右方，且N点与O′点相距L．区域I和Ⅱ的宽度为d=$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$，两区域的长度足够大．N点的负电荷所带电荷量的绝对值为Q=$\frac{Lm{v}_{0}^{2}}{kq}$（其中k为静电力常量）．不计粒子的重力，求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（2）粒子在O与O′之间运动轨迹的长度和位移的大小；
（3）粒子从O点到P点所用的时间及O、P两点间的距离．
分析 （1）由洛仑兹力提供向心力可求得半径公式．
（2）由于区域Ⅰ和Ⅱ磁场的大小相等方向相反，所以从O点垂直入射的粒子做匀速圆周运动的方向相反．运动轨迹具有对称性．由题意知磁场宽度d的表达式可以看出半径与距离d，再由几何关系关系找到粒子在两个磁场区域内偏转的角度，从而能求出路程和位移．
（3）由分析知：正电荷垂直于区域Ⅱ的上边界经过O′点，即与负粒子产生的电场垂直，正电荷受到的库仑力为$F=\frac{kQq}{{l}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{l}$，所以正电荷将绕N点做匀速圆周运动，转过半圈后再次回到Ⅱ区的上边缘，进入Ⅱ区和Ⅰ区分别做匀速圆周运动，由运动的对称性和相关几何关系，能求出粒子从O点到P点所用的时间及O、P两点间的距离．
解答 解：（1）由$qB{v}_{0}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$得轨道半径为：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
（2）由题意知：R=2d，
所以粒子在磁场中偏转角度：$θ=30°=\frac{π}{6}$
运动轨迹的长度：$s=2Rθ=\frac{πm{v}_{0}}{3qB}$
位移的大小：x=4Rsin15°=4Rsin（45°-30°）=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$
（3）由分析知：正电荷垂直于区域Ⅱ的上边界经过O′点，即与负粒子产生的电场垂
直，正电荷受到的库仑力为$F=\frac{kQq}{{L}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{L}$，所以正电荷将绕N点做匀速圆周运动．
在磁场中运动周期：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$
在磁场中运动对应的总角度：$α=4θ=\frac{2π}{3}$
在磁场中运动的总时间：${t}_{1}=\frac{α}{2π}{T}_{1}=\frac{2πm}{3qB}$
在电场中运动周期：${T}_{2}=\frac{2πL}{{v}_{0}}$
在电场中运动时间：${t}_{2}=\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{πL}{{v}_{0}}$
正电荷从O点到P点的时间：
$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2πm}{3qB}+\frac{πL}{{v}_{0}}$
正电荷从O点到O′点的过程中沿平行于边界线方向偏移的距离：
${x}_{1}=2（R-Rcos30°）=（2-\sqrt{3}）R$
当L≥x1 时（如图甲所示），O、P两点间的距离为：
${l}_{OP}=2（L-{x}_{1}）=2[L-\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}]$
当L＜x1 时（如图乙所示），O、P两点的距离为：
${l}_{OP}=2（{x}_{1}-L）=2[\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}-L]$
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径$\frac{m{v}_{0}}{qB}$．
（2）粒子在O与O′之间运动轨迹的长度为$\frac{πm{v}_{0}}{3qB}$，位移的大小$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$．
（3）粒子从O点到P点所用的时间为$\frac{2πm}{3qB}+\frac{πL}{{v}_{0}}$，O、P两点间的距离：
①当L≥x1 时，O、P两点间的距离为：${l}_{OP}=2（L-{x}_{1}）=2[L-\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}]$；
②当L＜x1 时，O、P两点的距离为：${l}_{OP}=2（{x}_{1}-L）=2[\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}-L]$．
点评 本题的靓点在于：①粒子在Ⅰ、Ⅱ运动做匀速圆周运动由于转动方向相反，所以具有对称性，且有关系R=2d，这为后续计算提供方便．②由于N点的负电荷所带电荷量的绝对值为$Q=\frac{Lm{{v}_{0}}^{2}}{kq}$，则q、Q之间的库仑力$F=\frac{kQq}{{L}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{L}$，刚好使q绕N点做半径为L的匀速圆周运动，这样整个运动轨迹就非常对称，时间与距离很容易求出．
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如图所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为m，电荷量为q，整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，下列说法正确的是（ ）| A． | 小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正弦值为$\frac{qE}{mg}$ | |
| B． | 若剪断悬线，则小球做匀加速直线运动 | |
| C． | 若剪断悬线，则小球做曲线运动 | |
| D． | 若剪断悬线，则小球做匀速运动 |
如图所示，间距为L，足够长的光滑导轨倾斜放置，与水平面倾角为θ，其上端连接一个定值电阻R，匀强磁场磁感应强度为B．方向垂直于导轨所在平面，将质量为m的金属棒ab在导轨上无初速度释放，当ab棒下滑到稳定状态时，电阻R的电功率为P；导轨和金属棒的电阻均不计，重力加速度为g．下列判断正确的是（ ）| A． | 导体棒的a端电势比b端电势高 | |
| B． | ab棒在达到稳定状态前做加速度增加的加速运动 | |
| C． | ab棒下滑到稳定状态时，金属棒的速度v=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$ | |
| D． | 若换成一根质量为原来2倍的导体棒，其他条件不变，则ab棒下滑到稳定状态时，电阻R的电功率将变为原来的2倍 |
物体甲、乙原来静止于光滑水平面上．从t=0时刻开始，甲沿水平面做直线运动，位移x和时间平方t2的关系图象如图甲；乙受到如图乙所示的水平拉力F的作用．则在0～4s的时间内（ ）| A． | 甲物体所受合力不断变化 | B． | 2s末乙物体速度达到最大 | ||
| C． | 2s末乙物体速度为0 | D． | 2s末乙物体改变运动方向 | ||
| E． | 甲物体的速度不断减小 |
如图所示，钢铁构件A、B叠放在卡车的水平底板上，卡车底板和B间动摩擦因数为μ1，A、B间动摩擦因数为μ2，μ1＞μ2，卡车刹车的最大加速度为a，a＞μ1g，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．卡车沿平直公路行驶途中遇到紧急情况时，要求其刹车后在s0距离内能安全停下，则卡车行驶的速度不能超过（ ）| A． | $\sqrt{2a{s}_{0}}$ | B． | $\sqrt{2{μ}_{1}g{s}_{0}}$ | C． | $\sqrt{2{μ}_{2}g{s}_{0}}$ | D． | $\sqrt{（{μ}_{1}+{μ}_{2}）g{s}_{0}}$ |
某次对新能源汽车性能进行的测量中，汽车在水平测试平台上由静止开始沿直线运动，汽车所受动力随时间变化关系如图1所示，而速度传感器只传回第10s以后的数据（如图2所示）．已知汽车质量为1000kg，汽车所受阻力恒定．求：
如图所示，线圈面积S=1×10-3m2，匝数n=100，两端点连接一电容器，其电容C=30 μF．线圈中磁场的磁感应强度按$\frac{△B}{△t}$=0.1T/s增加，磁场方向垂直线圈平面向里，那么电容器所带电荷量为$3×1{0}_{\;}^{-7}C$电容器的极板a带正电（填“正”或“负”）．
如甲图所示，n匝面积为S的线圈处在竖直向下的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度随时间均匀变化．S闭合后，移动滑动变阻器的滑片，测出多组U、I值，描出电源两端电压随电流I变化的图象如乙图．下列说法正确的是（ ）| A． | 磁场均匀减小，磁场变化率$\frac{△B}{△t}$=$\frac{U}{nS}$，线圈的电阻r=$\frac{{U}_{0}}{{I}_{0}}$ | |
| B． | 磁场均匀减小，磁场变化率$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{U}_{0}}{nS}$，线圈的电阻r=$\frac{{U}_{0}-U}{{I}_{0}}$ | |
| C． | 磁场均匀增大，磁场变化率$\frac{△B}{△t}$=$\frac{U}{nS}$，线圈的电阻r=$\frac{{U}_{0}}{{I}_{0}}$ | |
| D． | 磁场均匀增大，磁场变化率$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{U}_{0}}{nS}$，线圈的电阻r=$\frac{{U}_{0}-U}{{I}_{0}}$ |