Question

9．如图所示内壁光滑的环形槽半径为R，固定在竖直平面内，环形槽上的P、Q两点与环形槽圆心等高，质量均为m的小球（可视为质点）A和B，以等大的速率v₀同时从P处向上、向下滑入环形槽，若在运动过程中两球均未脱离环形槽，设当地重力加速度为g．则下列叙述正确（　　）

• A． 两球第一次相遇时速度相同
• B． 两球第一次相遇点在Q点
• C． 小球A通过最高点时的机械能小于小球B通过最低点时的机械能
• D． 小球A通过最高点和小球B通过最低点时对环形槽的压力差为6mg

Answer 1

分析 两个小球在光滑的圆轨道内运动，机械能守恒，据机械能守恒定律分析它们再次相遇时速率关系．根据机械能守恒和牛顿第二定律求解轨道对两球的支持力之差，得到压力之差．

解答 解：A、两个小球在光滑的圆轨道内运动，只有重力做功，机械能均守恒，开始出发时机械能相等，则再次相遇时机械能守恒也相等，速率必定相等，但速度方向相反，所以速度不同，故A错误．
B、A向上先做减速运动，越过最高点后再做加速运动，B向下先做加速运动，越过最低点后再做减速运动，到达Q点时，两者速率相等，则从P运动到Q点的过程中A球的平均速率小于B球的平均速率，所以两球再次相遇时应在Q点的上方，故B错误．
C、两球开始出发时机械能相等，运动过程中各自的机械能守恒，则小球A通过最高点时的机械能等于小球B通过最低点时的机械能，故C错误．
D、小球A通过最高点时，有mg+N_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，小球B通过最低点时，有N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
又由机械能守恒得：对A球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₀²，对B球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
联立解得，N_B-N_A=6mg，则由牛顿第三定律可知，小球A通过最高点和小球B通过最低点时对环形槽的压力差值为6mg，故D正确．
故选：D

点评 本题的关键要掌握机械能守恒和向心力知识，要准确把握小球到达最高点的临界条件，熟练运用机械能守恒定律和牛顿运动定律处理这类问题．