Question

17．如图所示，一足够大的倾角θ=30°的粗糙斜面上有一个粗细均匀的由同种材料制成的金属线框abcd，线框的质量m=0.6kg，其电阻值R=1.0Ω，ab边长L₁=1m，bc边长L₂=2m，与斜面之间的动摩擦因数μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{9}$．斜面以EF为界，EF上侧有垂直于斜面向上的匀强磁场．一物体通过绝缘细线跨过光滑定滑轮与线框相连，连接线框的细线与斜面平行且线最初处于松弛状态．现先释放线框再释放物体，当cd边离开磁场时线框即以v=2m/s的速度匀速下滑，在ab边运动到EF位置时，细线恰好被拉直绷紧（极短时间内线框速度变化且反向），随即物体和线框一起匀速运动t=2s后开始做匀加速运动．取g=10m/s²，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）物体匀加速运动的加速度a；
（3）若已知在线框cd边离开磁场至重新进入磁场过程中系统损失的机械能为21.6J，求绳子突然绷紧过程系统损失的机械能△E．

Answer 1

分析 （1）根据线框做匀速下滑，结合平衡，根据安培力表达式求出磁感应强度的大小．
（2）根据位移公式求出匀速运动的速度，对线框和物体分别运用共点力平衡得出物体的质量，对整体分析，根据牛顿第二定律得出加速度．
（3）根据线框匀速下滑和上滑过程中重力势能的变化，结合能量守恒求出绳子突然绷紧过程系统损失的机械能△E．

解答 解：（1）当cd边离开磁场时线框即以v=2m/s的速度匀速下滑，
根据平衡有：$mgsinθ=μmgcosθ+\frac{{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}v}{R}$，
代入数据解得B=1T．
（2）由题意，线框第二次匀速运动方向向上，设其速度为v₁，细线拉力为T，
则匀速运动的速度：v₁=$\frac{{L}_{2}}{t}=\frac{2}{2}m/s=1m/s$，
对线框，由平衡条件得：T-mgsinθ-μmgcosθ-$\frac{{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}v}{R}$=0，
对物体，由平衡条件得：T-Mg=0，
代入数据解得M=0.8kg，
当线框全部进入磁场后，做匀加速直线运动，对整体分析，加速度a=$\frac{Mg-mgsinθ-μmgcosθ}{M+m}$=$\frac{8-6×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{9}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.6+0.8}$m/s²=$\frac{20}{7}m/{s}^{2}$．
（3）线框匀速下滑过程：E₁=mgL₂sinθ=$0.6×10×2×\frac{1}{2}J=6J$，线框匀速上滑过程：E₂=MgL₂-mgL₂sinθ=8×2-6=10J
损失的机械能：△E′=E₁+△E+E₂，
代入数据解得：△E=5.6J．
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B为1T；
（2）物体匀加速运动的加速度a为$\frac{20}{7}m/{s}^{2}$；
（3）绳子突然绷紧过程系统损失的机械能△E为5.6J．

点评 本题是一道综合题，难度较大，分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，应用平衡条件、能量守恒定律可以解题．