Question

5．2016年1月20日，美国天文学家推测，太阳系有第九大行星，该行星质量约为地球的10倍，半径约为地球的4倍，绕太阳一周需约2万年，冥王星比它亮约一万倍．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球和该行星绕太阳运动均视为匀速圆周运动．下列说法正确的是（　　）

• A． 太阳的质量约为$\frac{g{R}^{2}}{G}$
• B． 该行星的质量约为$\frac{10g{R}^{2}}{G}$
• C． 该行星表面的重力加速度约为$\frac{5}{8}$g
• D． 该行星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的7.4×10²倍

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度和地球的半径可以求出地球的质量，从而得出该行星的质量．根据半径关系和质量关系得出表面重力加速度的感谢，求出行星表面的重力加速度．根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径的关系，结合周期之比求出轨道半径之比．

解答 解：A、地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，故A错误．
B、行星质量约为地球的10倍，则行星的质量约为$\frac{10g{R}^{2}}{G}$，故B正确．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因为行星质量约为地球的10倍，半径约为地球的4倍，则行星表面的重力加速度约为$\frac{5}{8}$g，故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，因为该行星绕太阳的周期大约是地球绕太阳周期的2万倍，则该行星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的7.4×10²倍，故D正确．
故选：BCD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．