Question

8．如图甲所示的A、B是真空中两平行的金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场．图乙是一周期性交变电压U随时间t变化的图象．其中U₀和T₀已知．在t=0时，将这个交变电压接在A、B板上．此时在B板处有一初速为零的电子在电场力作用下开始运动．已知电子的质量为m，电量为e．

（1）若电子在t=$\frac{3}{2}$T₀时到达A板，求此时电子的速度；
（2）要使电子到达A板时具有最大的动能，求A、B两板间距离所满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据力与运动的关系，可知电子做的是周期性的运动：先做初速度为零的匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动到速度为零，然后重复前面的运动，是单项的直线运动，所以电子在t=$\frac{3}{2}$T₀时到达A板时，所经历的三段运动的位移相同，根据匀强电场的特点，由动能定理可求出．
（2）要使电子到达A板时具有最大的动能，满足在半个周期的整数倍到达即可，求电子在这段时间内能运动的位移即AB两个板的距离．

解答 解：（1）0～$\frac{T}{2}$做初速度为零的匀加速直线运动，接着$\frac{T}{2}～T$做匀减速直线运动到速度为零，由于加速和减速的加速度的大小相等，所以加速和减速的位移也相等，然后重复前面的运动，是单项的直线运动，AB之间的距离为d，电子在AB之间运动经历了三个过程：加速、减速、再加速．每段过程的位移均相等即为$\frac{d}{3}$，对于最后一段匀加速直线运动，由动能定理得：$e\frac{{U}_{0}}{d}×\frac{d}{3}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{3m}}$
（2）先做初速度为零的匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动到速度为零（是前一个运动的逆向过程），然后重复前面的运动，是单项的直线运动，所以要使电子到达A板时具有最大的动能，满足在半个周期的奇数倍到达即可，电子在这段时间内能运动的位移即AB两个板的距离：$x=\frac{v}{2}×\frac{{T}_{0}}{2}×（2n-1）=\frac{（2n-1）{T}_{0}}{2}\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{6m}}$（n=1、2、3…）
答：（1）若电子在t=$\frac{3}{2}$T₀时到达A板，此时电子的速度为$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{3m}}$；
（2）要使电子到达A板时具有最大的动能，A、B两板间距离所满足的条件为$\frac{（2n-1）{T}_{0}}{2}\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{6m}}$（n=1、2、3…）．

点评 考查周期性的运动：单项的直线运动和往复运动．根据力与运动的关系：牛顿第二定律和运动学公式，或者动能定理，分析运动过程，对于这样的周期性运动，也可借助于图象分析．要能灵活的运用物理的定理定律分析问题．