题目内容

10．冷战时期，前苏联科学家决定用一种简单而暴力的方式探索地球，计划钻出一个直指地心的“超级深井”（如图1），执行到井深约12300米时被停止，原因不明．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．如图2所示，假设地球半径为R、地表重力加速度为g0，质量分布均匀，不考虑自转．为研究位于地球内部P点（OP=r）的小球所受引力，可将地球视为无数个同心球壳，其中半径大于r的球壳对小球的引力为零；即小球仅受到半径为r的球体的引力作用．（球体积公式V=$\frac{4π}{3}$R3）
（1）求P点重力加速度g，并在图3中补充完成g～r图象 （r＞R部分已经给出）．
（2）若井深AP=$\frac{R}{2}$，从井口释放一质量为m的小球，落至P点时，速度多大？

分析 （1）由题意知，放在P点的小球仅受到半径为r的球体的引力作用，根据万有引力等于重力，结合半径之比，质量与密度的关系求出P点的重力加速度，结合r＜R时，g与r的关系式作出正确的图线．
（2）小球从A点至P点的过程中，重力随位移均匀变化，根据动能定理，结合重力做功求出落至P点的速度．

解答 解：（1）由题意知，放在P点的小球仅受到半径为r的球体的引力作用，
设半径为r的球体的质量为M′．根据公式V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$以及M=ρV，
可知：$\frac{M′}{M}=\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$，
P点：mg=$G\frac{M′m}{{r}^{2}}$，
地球表面处：$m{g}_{0}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
联立解得：g=$\frac{r}{R}{g}_{0}$．
故当r＜R 时，g～r图象为正比例函数图象，如图所示．
（2）由上一问可知，小球从A点下落至P点的过程中，所受重力随位移均匀变化，
所以 ${W}_{G}=\frac{m{g}_{p}+m{g}_{0}}{2}×\frac{R}{2}$，
由g=$\frac{r}{R}{g}_{0}$知，${g}_{p}=\frac{1}{2}{g}_{0}$，
根据动能定理：${W}_{G}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
联立解得：v=$\frac{\sqrt{3{g}_{0}R}}{2}$．
答：（1）P点重力加速度g为$\frac{r}{R}{g}_{0}$，g～r图象如图所示．
（2）落至P点时，速度为$\frac{\sqrt{3{g}_{0}R}}{2}$．

点评 解决本题的关键知道P点小球仅受到半径为r的球体的引力作用，结合万有引力等于重力求解，对于第二问，知道重力做功是变力功，结合动能定理进行求解，对于变力功，可以抓住重力随位移均匀变化，结合平均重力求解重力功，也可以结合g-r图线围成的面积进行求解．

练习册系列答案
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