Question

2．如图所示，一小球在内壁光滑的圆管内做竖直面圆周运动，小球直径略小于管的直径．圆管在地球表面时，要使小球经过最高点产并且对管壁恰好无压力，需要的速度大小为v．若把该圆管拿到某星球表面上，要使小球经过最高点并且对管壁恰好无压力，需要的速度为$\frac{v}{2}$．已知星球的半径与地球半径之比为R_v：R_m=1：4，地球表面重力加速度g=10m/s²．求：
（1）该星球表面的重力加速度g′；
（2）该星球的质量与地球质量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析 以小球为研究对象，小球以速度v通过最高点时，由重力与管壁对小球的压力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式．当小球以$\frac{v}{2}$速通过圆管的最高点，再根据牛顿第二定律列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）要使小球经过最高点并且对管壁恰好无压力，则应满足
地球上轨道最高点$mg=\frac{m{v}_{\;}^{2}}{r}$
星球上轨道最高点$mg′=\frac{m{v}_{\;}^{2}}{4r}$
星球表面的重力加速度$g′=\frac{g}{4}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）在任一星球表面重力等于万有引力
在地球表面：$mg=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$
在星球表面：$mg′=G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{R}_{星}^{2}}$
星球的质量与地球质量之比$\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{1}{64}$
答：（1）该星球表面的重力加速度$2.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）该星球的质量与地球质量之比1：64

点评 本题是牛顿第二定律的直接应用．对于圆周运动，分析受力情况，确定向心力的来源是关键，重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．