Question

20．如图所示，空间被平行界面分为三个区域，Ⅰ区域存在匀强电场，电场强度E可取不同值，其左边界与y轴重合；Ⅱ区域磁场方向垂直纸面向里、Ⅲ区域磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度均为B，Ⅰ、Ⅱ区域宽度均为d，Ⅲ区域右侧无限制；平面直角坐标系中点P（0，3d）．质量m、电荷量+q粒子从坐标原点O由静止释放进入电场．粒子的重力不计．求：
（1）粒子恰好不能进入Ⅲ区域，所加的电场强度；
（2）粒子经Ⅰ、Ⅱ区域到y轴上P点的最短时间；
（3）粒子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后回到原点运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）粒子在Ⅱ中做圆周运动时其轨迹与Ⅱ的右边界相切时粒子恰好不进入Ⅲ区，求出粒子在Ⅱ做圆周运动的轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出其速度，然后在电场中应用动能定理可以求出电场强度．
（2）粒子在Ⅰ做匀变速直线运动，在Ⅱ区做轨迹为半圆的匀速圆周运动，粒子运动轨迹经过P点，求出粒子在磁场中做圆周运动的最大轨道半径，然后求出粒子的最短运动时间．
（3）作出粒子运动轨迹，然后求出粒子做圆周运动的轨道半径与转过的圆心角，最后求出粒子的路程．

解答 解：（1）粒子在Ⅱ区做圆周运动时轨迹与Ⅱ区右边界相切时恰好不进入Ⅲ区，
粒子在Ⅱ做圆周运动的轨道半径：r=d，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBd}{m}$，
在Ⅰ区，对粒子由动能定理得：qEd=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得：E=$\frac{q{B}^{2}d}{2m}$；
（2）粒子要到达P点，粒子应在电场中做匀变速直线运动，在Ⅱ区中做轨迹为半圆的匀速圆周运动，
粒子轨道半径r′满足：4r′=3d，即r′=0.75d时粒子经Ⅰ、Ⅱ区域到y轴上P点的最短时间，
粒子在Ⅱ做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，解得：v′=$\frac{3qBd}{4m}$，
粒子在电场中做匀变速直线运动，粒子穿过电场一次需要的时间：t₁=$\frac{d}{\overline{v}}$=$\frac{d}{\frac{v′}{2}}$=$\frac{8m}{3qB}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，粒子穿过磁场Ⅱ一次需要的时间：t₂=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$，
粒子经Ⅰ、Ⅱ区域到y轴上P点的最短时间；t_最短=4t₁+2t₂=4×$\frac{8m}{3qB}$+2×$\frac{πm}{qB}$=$\frac{32m}{3qB}$+$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后回到原点运动轨迹如图所示；

区域Ⅱ、Ⅲ中的磁感应强度大小相等，粒子在两区域做圆周运动的轨道半径：R=$\frac{mv}{qB}$相等，
由几何知识可知：θ=60°=$\frac{π}{3}$，2Rsinθ=d+Rsinθ，解得：R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
粒子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后回到原点运动的总路程：
s=2d+2θR+（2π-θ）R=2d+$\frac{14\sqrt{3}πd}{9}$；
答：（1）粒子恰好不能进入Ⅲ区域，所加的电场强度为$\frac{q{B}^{2}d}{2m}$；
（2）粒子经Ⅰ、Ⅱ区域到y轴上P点的最短时间为：$\frac{32m}{3qB}$+$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后回到原点运动的总路程为：2d+$\frac{14\sqrt{3}πd}{9}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做匀变速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式可以解题，解题时注意几何知识的应用．