Question

14．如图（1）所示，平行金属板板间距离为d，紧靠金属板右端竖直放置一绝缘挡板，挡板上正对平行金属板中线处有一小孔，挡板右侧距挡板L处竖直放置一荧光屏，荧光屏与金属板中线相交于O点，整个装置处在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B．现在两金属板间加一按图（2）所示规律变化的电压，并从t=0时刻开始，有大量的、各种不同速率的相同离子从金属板左侧沿中线连续不断的射入，已知这些离子通过金属板所用的时间极短，以至于每个离子通过金属板的过程中，板间电场可认为是恒定的．受电、磁场的影响，这些离子有的被挡板挡住，有的能沿直线通过挡板上的小孔而进入挡板右侧的区域，若从小孔射出的离子刚好能全部打在荧光屏上（不计离子重力）．
（1）求这些离子的比荷；
（2）若调节电压变化的周期，使得在电压从U₀到2U₀变化的一个周期内，打到荧光屏上离O点最近和最远两处的离子同时到达荧光屏，则交变电压的周期T₀应为多大？

Answer 1

分析 （1）从小孔射出的离子在电磁场中做匀速直线运动，受力平衡．离子进入磁场后，做匀速圆周运动，由于离子刚好能全部打在荧光屏上，所以轨道半径等于L．根据平衡条件和圆周运动半径公式结合解答．
（2）根据上题结果可得到电压为2U₀时进入磁场后做匀速圆周运动离子的半径R₂，利用几何关系可判定，此种速率的离子在磁场中运动$\frac{1}{12}$圆弧后打到荧光屏上．根据两个粒子运动时间相等，列式解答．

解答 解：（1）设离子质量为m，带电量为q，电压为U₀时沿直线射出的离子速度为v₁，则：Bqv₁=$\frac{{U}_{0}}{d}$q   ①
离子进入磁场后，做匀速圆周运动，设半径为R₁，则：R₁=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$  ②
根据题意，电压为U₀时这种速率的离子在磁场中恰好运动$\frac{1}{4}$圆弧后打到荧光屏上．
则有：R₁=L   ③
解上述方程组可得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{U}_{0}}{{B}^{2}Ld}$  ④
（2）电压为2U₀时，从小孔射出离子的速度为v₂，进入磁场后做匀速圆周运动的半径为R₂，参照①②③式可得：
 R₂=2L    ⑤
利用几何关系可判定，此种速率的离子在磁场中运动$\frac{1}{12}$圆弧后打到荧光屏上．设离子在磁场中运动周期为T，则：T=$\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$   ⑥
设t=0时刻进入电场的离子到达荧光屏上所用时间为t₁，t=T₀时刻进入电场的离子到达荧光屏上所用总时间为t₂，则：
  t₁=$\frac{T}{4}$  ⑦
  t₂=T₀+$\frac{T}{12}$ ⑧
  t₁=t₂ ⑨
利用①③⑥⑦⑧⑨可解得：T₀=$\frac{πBLd}{3{U}_{0}}$  ⑩
答：
（1）这些离子的比荷为$\frac{{U}_{0}}{{B}^{2}Ld}$；
（2）交变电压的周期T₀应为$\frac{πBLd}{3{U}_{0}}$．

点评 本题考查了带电粒子在速度选择器运动和磁场中偏转问题，掌握各个过程的规律，知道速度选择器的原理，分析粒子运动时间与周期的关系是解答本题的关键．