Question

4．如图所示，A球放在一个倾角为30°的固定的光滑斜面上，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚好伸直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知B、C的质量均为m，重力加速度g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．已知弹簧拉伸和压缩形变量相同时，其储存的弹性势能相同，试求：
（1）A球的质量m_A多大？
（2）A球能获得的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）C球刚离开地面时，弹簧的弹力等于C的重力，根据牛顿第二定律知B的加速度为零，B、C加速度相同，分别对B、A受力分析，列出平衡方程，可以求出A的质量．
（2）对B、C组成的系统由动能定理可以求出最大速度．

解答 解：（1）当A所受合力为零时，速度最大，此时：a_A=a_B=a_C=0，
此时C刚离开地面时，由平衡条件得：
对C：kx₂=mg，
对B：T-kx₂-mg=0，
对A：m_Agsin30°-T=0，
解得：m_A=4m；
（2）开始时系统静止，且线上无拉力，
对B有：kx₁=mg，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
则从释放A至C刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零，此过程中由动能定理得：
m_Ag（x₁+x₂）sin30°-mg（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（m_A+m）v²-0，解得：v=2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
答：（1）A球的质量m_A为4m．
（2）A球能获得的最大速度是2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$．

点评 本题关键是对三个小球进行受力分析，确定出它们的运动状态，再结合平衡条件和动能定理即可正确解题．