Question

3．如图所示，横截面是直角三角形ABC的三棱镜对红光的折射率为η₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，对紫光的折射率为η₂=$\sqrt{3}$，宽度都为a的红光和蓝光从同一位置由棱镜的一侧斜边AB垂直射入，从另一侧面直角边AC折射出来并射到光屏上，已知棱镜的顶角∠B=60°，AC边平行于光屏MN，为使另种色光射到光屏MN上时不重叠，试求棱镜AC边与光屏至少相距多远？

Answer 1

分析 两种色光组成的光束垂直AB边射入棱镜，在AB面上不发生偏折，到达AC面上，根据几何关系求出入射角的大小，根据折射定律求出折射角，再结合几何关系确定棱镜AC边与光屏的距离．

解答 解：根据几何关系，光从AC面上折射时的入射角为30°，根据折射定律有：
${n}_{1}=\frac{sin{γ}_{1}}{sin30°}$，${n}_{2}=\frac{sin{γ}_{2}}{sin30°}$；
解得：sinγ₁=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，sinγ₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故γ₁=37.8°，γ₂=60°；
故紫光的偏折程度较大；
为使两种色光射到光屏MN上时不重叠，则临界情况是从下边缘入射的紫光与从上边缘入射的红光在光屏上重叠，如图所示：

结合几何关系，有：
$\frac{d}{cos{γ}_{2}}$-$\frac{d}{cos{γ}_{1}}$=a
解得：
d=$\frac{a}{\frac{1}{cos{γ}_{2}}-\frac{1}{cos{γ}_{1}}}$=$\frac{acos{γ}_{1}cos{γ}_{2}}{cos{γ}_{1}-cos{γ}_{2}}$=$\frac{a×cos37.8°cos60°}{cos37.8°-cos60°}$=$\frac{a×0.79×\frac{1}{2}}{0.79-\frac{1}{2}}$=1.36a
答：棱镜AC边与光屏至少相距1.36a．

点评 本题考查光的折射．关键掌握光的折射定律，以及能够灵活运用数学的几何关系．