Question

7．如图所示，将球心为O点、半径为R、质量为M的均匀实心大球体的左侧挖去一个半径为$\frac{R}{2}$的小球，并将该小球的球心P置于OO′连线上且与球体相切．其中O′点为挖去小球后空腔部分的中心，引力常量为G求大球剩余部分对P处小球的引力F₁的大小和方向．（已知球体体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 采用割补法，设想用一个与右侧球相同的球A去将洞补上，则补上后的球整体对P球的引力减去A球对P球的引力即为大球剩余部分对P处小球的引力F₁的大小．

解答 解：根据公式V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，挖去小球的体积是原来大球体积的$\frac{1}{8}$，故其质量为$\frac{M}{8}$；
用一个与右侧球相同的球（设为A球）去将洞补上，整体对球P的引力为：F=G$\frac{M•\frac{M}{8}}{（R+\frac{R}{2}）^{2}}$=$\frac{G{M}^{2}}{18{R}^{2}}$；
球A对P球的引力：$F′=G\frac{\frac{M}{8}•\frac{M}{8}}{（2R）^{2}}=\frac{G{M}^{2}}{256{R}^{2}}$；
故大球剩余部分对P处小球的引力F₁的大小：F₁=F-F′=$\frac{119G{M}^{2}}{{2304R}^{2}}$；
方向向左；
答：大球剩余部分对P处小球的引力F₁的大小为$\frac{119G{M}^{2}}{{2304R}^{2}}$，方向向左．

点评 本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，而不是直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体．