Question

12．如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距L=1m、导轨一端与阻值R=0.9Ω的电阻相连，导轨电阻不计，导轨x＞0一侧存在沿x方向均增大的磁场，其方向与导轨平面垂直向下，磁感应强度B随位置x变化的关系是B=0.2+0.1x（T），一根质量m=0.2kg、电阻r=0.1Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直．
（1）若棒在水平外力F的作用下从x=0处以速度v₀=6m/s沿导轨向右匀速动，求力F的大小与时间的关系；
（2）若棒在外力作用下在x=0处以速度v₀=6m/s沿导轨向右做变速运动，且要保持R的功率不变，在棒从x=0到x=10m的过程中，求外力所做的功．

Answer 1

分析 （1）棒向右运动，合力为零．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出安培力与时间的关系，再由平衡条件求得F与t的关系．
（2）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律相结合，来计算感应电流的大小；分别求出x=0与x=10m处的安培力的大小，求出安培力做功，再由动能定理求外力做功．

解答 解：（1）金属棒切割产生感应电动势为：
E=BLv₀=（0.2+0.1x）Lv₀，
其中 x=v₀t
由闭合电路欧姆定律得电路中的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$
棒匀速运动，外力与安培力大小，为：F=BIL=（0.2+0.1x）IL
联立解得：F=6（0.2+0.6t）² N．
（2）x=0时，B₀=0.2T
金属棒切割产生感应电动势为：E=B₀Lv=0.2×1×6V=1.2V，
由闭合电路欧姆定律，电路中的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=1.2A
当x=0m时，安培力为：F₀=B₀IL=0.24N，
x=10m时，F_A=B₂IL=（0.2+0.1x）IL=1.44N
金属棒从x=0运动到x=10m过程中安培力做功的大小，为：w=$\frac{1}{2}$（F₀+F_A）x=8.4J
在x=10m处，B₂=0.2+0.1x=1.2T，
切割产生感应电动势，有：E=B₂Lv₂，
由上可得，金属棒在x=10m处的速度为：v₂=1m/s
由动能定理有：W_F-W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得外力做功为：W_F=4.9J
答：（1）力F的大小与时间的关系是F=6（0.2+0.6t）² N．
（2）外力所做的功是4.9J．

点评 本题由法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律推导出安培力与时间、位移的关系式是解题的关键，在电流不变时，安培力与x是线性关系，求安培力做功时可用安培力的平均值与位移相乘．