Question

14．一小船渡河，河宽d=180m，水流速度v₁=2.5m/s
（1）若船在静水中的速度为v₂=5m/s，求：
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）若船在静水中的速度v₂=1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

Answer 1

分析 当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短；若船速大于水流速度时，当合速度与河岸垂直时，渡河航程最短，若船速小于水流速度时，合速度垂直船速，对应的船航程最短，结合运动学公式与平行四边形定则，即可求解．

解答 解：（1）将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移．
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
t=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{180}{5}$s=36s
那么沿着水流方向的位移为x=v₁t=2.5×36=90m/s；
则使船在最短的时间内渡河的位移为s=$\sqrt{18{0}^{2}+9{0}^{2}}$=90$\sqrt{5}$m
②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一角度α．
垂直河岸过河这就要求v_水平=0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v₂sinα=v₁
得α=30°．
所以当船头向上游偏30°时航程最短，s′=d=180m．
（2）因v_船＜v_水，若要使船航程最短，船头应指向上游与河岸成θ角，
如下图所示，

cosθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{1.5}{2.5}$=0.6，则θ=53°，
最短航程为x_min=$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}}$=$\frac{2.5}{1.5}$×180m=300m
所需要的时间为t′=$\frac{{x}_{min}}{{v}_{1}sin53°}$=$\frac{300}{2.5×0.8}$=150s；
答：
（1）①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝应朝垂直河岸方向，用36s，位移是90$\sqrt{5}$m；
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝上游与河岸成30°，位移，180m；
（2）要使船渡河的航程最短，船头应偏向上游53度，所用时间为150s，位移是300m．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，当静水速与河岸垂直，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直，渡河航程最短．小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，使用平行四边形法则求合速度．