Question

6．已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，地球自转的周期为T，万有引力恒量为G．求：
（1）地球同步卫星的周期；
（2）地球同步卫星距地而的高度h；
（3）若另一卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的$\frac{1}{4}$，求该卫星的环绕周期．

Answer 1

分析 （1）地球同步卫星的周期等于地球的自转周期
（2）根据万有引力提供向心力求出地球同步卫星距地面的高度
（3）根据开普勒第三定律求卫星的环绕周期

解答 解：（1）地球同步卫星的周期等于地球自转的周期T
（2）根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得：$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
（3）根据开普勒第三定律$\frac{{r}_{同}^{3}}{{r}_{\;}^{3}}=\frac{{T}_{同}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$
代入数据解得：$\frac{（4r）_{\;}^{3}}{{r}_{\;}^{3}}=\frac{2{4}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$
解得：T=3h
答：（1）地球同步卫星的周期T；
（2）地球同步卫星距地而的高度h为$\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$；
（3）若另一卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的$\frac{1}{4}$，求该卫星的环绕周期3h．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力，地球同步卫星周期等于地球的自转周期．