Question

19．某双星由质量分别为3M和2M的星体A和B构成，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，不至于因万有引力而吸引到一起，已知引力常量为G，两星体之间的距离为r，忽略其他星体的影响，由此可以求出星体A运动周期为（　　）

• A． 2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
• B． 2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{2GM}}$
• C． 2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{3GM}}$
• D． 2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{5GM}}$

Answer 1

分析 双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，靠相互的万有引力提供向心力，角速度相等，结合牛顿第二定律分析判断．

解答 解：双星系统做圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，双星的角速度大小相等，根据牛顿第二定律有：
$G\frac{3M•2M}{{r}_{\;}^{2}}=3M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{1}^{\;}=2M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{2}^{\;}$…①
${R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}=r$…②
得：$G•2M{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{R}_{1}^{\;}$${r}_{\;}^{2}$
$G•3M{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{R}_{2}^{\;}$${r}_{\;}^{2}$
即$G•5M{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{5GM}}$=$2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{5GM}}$，故D正确，ABC错误
故选：D

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．