Question

14．用光滑圆管制成如图所示的轨道，竖直立于水平地面上，其中ABC为圆轨道的一部分，CD为倾斜直轨道，二者相切与C点，已知圆轨道的半径R=1m，倾斜轨道CD与水平地面的夹角为θ=37°，现将一小球以一定的初速度从A点射入圆管，小球直径略小于圆管的直径，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求小球通过倾斜轨道CD的最长时间（结果保留一位有效数字）．

Answer 1

分析 由题意得小球到达圆轨道的最高点的速度为0，则利用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式建立等式联立求解．

解答 解：小球通过倾斜轨道时间若最长，则小球到达圆轨道的最高点的速度为0，从最高点到C点：
对小球由动能定理可得：mgh=$\frac{1}{2}$mv_C²
由几何关系得：h=R-Rcosθ
小球在CD段匀加速直线运动，由位移公式得：L=v_Ct+$\frac{1}{2}$at²
CD的长度为：L=$\frac{R（1+cosθ）}{sinθ}$
 对小球利用牛顿第二定律可得：mgsinθ=ma
代入数据联立解得：t=1s．
答：小球通过倾斜轨道CD的最长时间为1s．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学的相关知识．解答此题的关键是找到隐含条件：小球通过倾斜轨道时间若最长，即是小球到达圆轨道的最高点的速度为0．要求认真分析运动过程，理解竖直面内的圆周运动的两种模型：轻绳模型和轻杆模型，知道它们能做完整的圆周运动在最高点的临界条件．