Question

19．如图所示，一质量为m的带电小球在水平向右的匀强电场E中运动，某时刻位于电场中的A点，速度大小为v₀，斜向上且与电场方向成45°；经过一段时间到达同一高度的B点，速度方向斜向下与电场方向的夹角变为30°，重力加速度为g，则（　　）

• A． 小球从A运动到B所用时间为$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{2g}$
• B． 小球的电荷量等于$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2E}$
• C． AB间的距离等于$\frac{（\sqrt{3}+1）{v}_{0}^{2}}{2g}$
• D． 从A到B小球减少的电势能为mv₀²

Answer 1

分析 对小球进行受力分析，小球受到重力和水平向右的电场力，根据运动的合成与分解，分解为竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式联立求解ABC，小球电势能的减少量等于电场力所做的功．

解答 解：A、A点的竖直分速度${v}_{Ay}^{\;}={v}_{0}^{\;}sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}^{\;}$，从A点到最高点的时间${t}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{2g}$，根据运动对称性，所以小球从A运动到B所用时间$t=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{g}$，故A错误；
B、A点的水平分速度${v}_{Ax}^{\;}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}^{\;}$，B点：$tan30°=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}^{\;}}{{v}_{Bx}^{\;}}$，解得${v}_{Bx}^{\;}=\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}^{\;}$，水平方向的加速度${a}_{x}^{\;}=\frac{{v}_{Bx}^{\;}-{v}_{Ax}^{\;}}{t}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}^{\;}-\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}^{\;}}{\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{g}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}g$
根据牛顿第二定律：$qE=m{a}_{x}^{\;}$
解得：$q=\frac{m{a}_{x}^{\;}}{E}=\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2E}$，故B正确；
C、AB间的距离${x}_{AB}^{\;}=\frac{{v}_{Ax}^{\;}+{v}_{Bx}^{\;}}{2}t$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}^{\;}+\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}^{\;}}{2}×\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{g}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）{v}_{0}^{2}}{2g}$，故C正确；
D、从A到B小球电势能的改变量等于电场力所做的功$△{E}_{p}^{\;}=qE{x}_{AB}^{\;}$=$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2E}×E×\frac{（\sqrt{3}+1）{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，故D错误；
故选：BC

点评 本题考查了带电梯的电场中的运动，关键是采用运动的合成与分解的方法，对分运动进行处理，结合牛顿第二定律和运动学知识求解．