Question

17．如图所示，光滑斜面AB与光滑竖直圆弧轨道BCD在B点平滑连接，质量为m的小物块从斜面上A点由静止释放并滑下，经圆弧轨道最低点C后能沿轨道通过最高点D，此时对D点的压力恰好等于其重力．重力加速度为g，不计空气阻力．求：
（1）物块运动到最低点D时的速度大小大小；
（2）物块运动到最低点C时对轨道的压力大小；
（3）A、C的高度差h与圆弧轨道半径R的比值．

Answer 1

分析 （1）物块在D点时，由合力提供向心力，由向心力的公式可以求得在D点的速度大小．
（2）从C到D的过程中，物体的机械能守恒，由此求出物块通过C点的速度．在C点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以得到物块对轨道压力的大小．
（3）从A到D的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时离最低点的高度h，得到高度差h与圆弧轨道半径R的比值．

解答 解：
（1）物块在D点时，由合力提供向心力，则有
   F_ND+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
据题有 F_ND=mg
解得  v_D=$\sqrt{2gR}$                   
（2）物块在C点时，由牛顿第二定律有：
F_NC-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
从C到D的过程，由机械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+mg•2R
联立解得 F_NC=7mg
联立上式并根据牛顿第三定律知  物块运动到最低点C时对轨道的压力   F_NC′=F_NC=7mg
（3）由A到C，根据机械能守恒定律知：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$         
在C点，由牛顿第二定律有：F_NC-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立得 $\frac{h}{R}$=3
答：
（1）物块运动到最低点D时的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）物块运动到最低点C时对轨道的压力大小是7mg；
（3）A、C的高度差h与圆弧轨道半径R的比值是3．

点评 此题考查圆周运动和机械能守恒定律的应用，注意分析清楚各部分的运动特点，恰当选取运动过程和位置进行分析，然后采用相应的规律求解即可．