Question

4．已知火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为3：8，火星的半径与地球的半径之比为1：2，如果认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，那么下列计算中正确的有（　　）

• A． 火星与地球密度之比为4：3
• B． 火星与地球第一宇宙速度之比为3：16
• C． 火星与地球质量之比为3：16
• D． 火星的近地卫星与地球的近地卫星周期之比为2：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力，以及密度公式得到密度表达式，再求密度之比．由重力等于向心力表示出第一宇宙速度，求得第一宇宙速度之比．由万有引力与星球表面重力，求质量之比．由重力等于向心力得到近地卫星的周期表达式，再求它们周期之比．

解答 解：A、对于任一行星，在该行星表面有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得 M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，密度为 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
据题火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为3：8，火星的半径与地球的半径之比为1：2，代入上式可得，火星与地球密度之比为3：4．故A错误．
B、第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据重力提供圆周运动向心力有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得星球的第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$，所以可得火星与地球第一宇宙速度之比为$\sqrt{3}$：4，故B错误．
C、由M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，得火星与地球质量之比为3：32，故C错误．
D、对近地卫星，有 mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，代入可得火星的近地卫星与地球的近地卫星周期之比为2：$\sqrt{3}$，故D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键是抓住万有引力提供圆周运动向心力，以及万有引力等于重力，求得描述圆周运动的物理量与中心天体的质量和半径的关系，掌握相关规律是正确解题的基础．