Question

12．如图所示，一轻质弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37⁰的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然伸长状态．直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF=4R．已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度大小为g．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小；
（2）求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．P到达圆轨道最高点D时对轨道的压力为重力的0.2倍，求P运动到D点时速度的大小和改变后小物块P的质量．

Answer 1

分析 （1）对C到B的过程应用动能定理即可求解；
（2）对C到E和E到F的运动过程分别应用动能定理，即可联立求解；
（3）由牛顿第三定律求得P在D处受到的支持力，然后由牛顿第二定律求得速度，即可由动能定理求解．

解答 解：（1）P从C到B的过程作用重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mgBCsin37°-μmgBCcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，所以，${v}_{B}=\sqrt{2gBC（sin37°-μcos37°）}=2\sqrt{gR}$；
（2）设AE=x，那么CE=7R-x，EF=4R-x；
对滑块从C到E应用动能定理可得：mgCEsin37°-μmgCEcos37°-E_p=0，所以，E_p=0.4mgCE=0.4mg（7R-x）；
对滑块从E到F应用动能定理可得：E_p-mgEFsin37°-μmgEFcos37°=0，所以，E_p=0.8mgEF=0.8mg（4R-x）；
所以，x=R，E_p=2.4mgR；
（3）P到达圆轨道最高点D时对轨道的压力为重力的0.2倍，那么由牛顿第三定律可得：P受到轨道的作用力F_N=0.2m′g，方向竖直向下；
在最高点D，由牛顿第二定律可得：${F}_{N}+m′g=\frac{m′{{v}_{D}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{D}=\sqrt{1.2gR}$；
对P从E到D的运动过程应用动能定理可得：${E}_{p}-m′g（CEsin37°+Rcos37°+R）-μm′gCEcos37°=\frac{1}{2}m′{{v}_{D}}^{2}=0.6m′gR$；
所以，2.4mgR-5.4m′gR-1.2m′gR=0.6m′gR，所以，$m′=\frac{1}{3}m$；
答：（1）P第一次运动到B点时速度的大小为$2\sqrt{gR}$；
（2）P运动到E点时弹簧的弹性势能为2.4mgR；
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．P到达圆轨道最高点D时对轨道的压力为重力的0.2倍，则P运动到D点时速度的大小为$\sqrt{1.2gR}$；改变后小物块P的质量为$\frac{1}{3}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．