Question

7．如图为火车站装载货物的示意图，AB段是距水平传送带装置高为H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=8m，与货物包的摩擦系数为μ=0.6，皮带轮的半径为R=0.2m，上部距车厢底水平面的高度h=0.45m．设货物由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无能量损失．通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度ω可使货物经C点被水平抛出后落在车厢上的不同位置（车厢足够长，货物不会撞到车厢壁），取g=10m/s²．
（1）当皮带轮静止时，请判断货物包能否在C点被水平抛出．若不能，请说明理由；若能，请算出货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（2）当皮带轮以角速度ω=20rad/s顺时针匀速转动时，求货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离；
（3）讨论货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离s与皮带轮转动的角速度ω（顺时针匀速转动）之间的关系．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒求得货物在B点的速度，然后对BC运动过程应用动能定理求得在C点的速度，即可由平抛运动规律求得距离；
（2）根据皮带速度判断货物在C点的速度，然后由平抛运动规律求得距离；
（3）根据角速度得到皮带速度，进而判断速度判断货物在C点的速度，然后由平抛运动规律求得距离；

解答 解：（1）货物在AB上运动只有重力做功，故由机械能守恒可得：$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gH}=10m/s$
货物在B处的动能为：${E}_{kB}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=50m（J）$；
当皮带轮静止时，货物在摩擦力作用下做匀减速运动，运动过程只有摩擦力做功；
设货物可到达C点，那么货物从B到C克服摩擦力做功W=μmgL=48m＜E_kB，故货物可到达C点，由动能定理可得：货物在C点的动能为：
E_kC=E_kB-W=2m（J）；
那么，货物从C抛出的速度为：${v}_{C}=\sqrt{\frac{2{E}_{kC}}{m}}=2m/s$；
又有：$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=20m＞mg$
故货物从C飞出后与传送带不接触，无相互作用，那么货物做平抛运动，则有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.3s$
货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为：
$x={v}_{C}t={v}_{C}•\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.6m$；
（2）当皮带轮以角速度ω=20rad/s顺时针匀速转动时，BC段皮带向右运动，速度为：v_皮=ωR=4m/s＞v_C；
故货物到达C点时与皮带速度相同，那么，货物做平抛运动的初速度为：v_C′=v_皮=4m/s；
所以，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为：$x′={v}_{C}′t={v}_{C}′\sqrt{\frac{2h}{g}}=1.2m$；
（3）当皮带速度v=ωR≤v_C，即为$ω≤\frac{{v}_{C}}{R}=10rad/s$时，货物到C点时的速度为v_C，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为：s=x=0.6m；
若货物在BC上在摩擦力作用下匀加速运动，那么由动能定理可得：$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}{″}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
货物在C处的速度为：${v}_{C}″=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+2μgL}=14m/s$；
那么，当皮带速度为v_C＜v_皮≤v_C″，即10rad/s＜ω≤70rad/s时，货物到达C点的速度与皮带速度相同，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为：s=ωRt=0.06ω；
当皮带速度v_皮＞v_C″，即ω＞70rad/s时，货物到C点时的速度为v_C″，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为：s=v_C″t=4.2m；
答：（1）当皮带轮静止时，货物包能在C点被水平抛出；货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为0.6m；
（2）当皮带轮以角速度ω=20rad/s顺时针匀速转动时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为1.2m；
（3）当ω≤10rad/s时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离s为0.6m；
当10rad/s＜ω≤70rad/s时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离s=0.06ω；
当ω＞70rad/s时，物包在车厢内的落地点到C点的水平距离为4.2m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．