Question

18．如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A．在离端点A相距s=4.0m处的水平地面上D点的右方存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度大小为E=10.0N/C，磁感应强度大小为B=10.0T．现有在D点正上方离D点距离为1.40m的带电小球，以初速度为v₀垂直界面进入电磁场中，带电小球恰好作匀速圆周运动，后刚好从D点沿水平地面向左运动，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点．已知带电小球的质量m=0.10Kg，球与水平地面间的动摩擦因数μ═0.30．求：
（1）带电小球带什么电？带电量为多少？
（2）小球的初速度v₀的大小．
（3）A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）带电小球以初速度为v₀垂直界面进入电磁场中，带电小球恰好作匀速圆周运动，电场力与重力平衡，由判断出小球的电性，并由平衡条件求出带电量．
（2）带电小球在电磁场中作匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球的初速度v₀．
（3）小球从D到A的过程中，运用动能定理可求得小球通过A点的速度．假设小球恰好通过B点时，由重力提供向心力，列式求B点的临界速度，小球从A到D，由机械能守恒定律，由此求出小球通过B点的速度，从而判断出小球能通过B点，离开B点后小球做平抛运动，由分运动的规律求解A、C间的距离．

解答 解：（1）带电小球以初速度为v₀垂直界面进入电磁场中，带电小球恰好作匀速圆周运动，可知带电小球所受的电场力与重力平衡，电场力竖直向上，则小球带正电．
由平衡条件有：
  mg=qE    ①
由①式解得：q=0.10C  
（2）带电小球以初速度为v₀垂直界面进入电磁场中，带电小球恰好作匀速圆周运动，有：
  qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ②
由题知：$r=\frac{d}{2}=0.70m$ ③
由①②③式解得：v₀=7.0m/s
（3）小球从D到A的过程中有：-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀² ④
恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：$mg=m\frac{{{v_{B1}}^2}}{R}$，v_B1=2m/s ⑤
假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒得：$\frac{1}{2}mv_A^2=2mR+\frac{1}{2}mv_B^2$ ⑥
联立④⑥可得 v_B=3m/s
因为${v_B}＞{v_{B_1}}$，所以小球能通过最高点B．
小球从B点做平抛运动，则有
  $2R=\frac{1}{2}g{t^2}$，s_AC=v_B•t  ⑦
由④⑥⑦得：s_AC=1.2m    
答：
（1）带电小球带正电，带电量为0.10C．
（2）小球的初速度v₀的大小是7.0m/s．
（3）A、C间的距离是1.2m．

点评 解决本题时要抓住匀速圆周运动的向心力是合力，通过分析小球的受力情况，判断场强的方向．要掌握圆周运动最高点的临界条件：重力充当向心力，运用分解法研究平抛运动．