Question

13．如图所示，A为太阳系中的天王星，它绕太阳O运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为R₀，周期为T₀．长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t_o时间发生一次最大偏离，即轨道半径出现一次最大．根据万有引力定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行星（假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离，由此可推测未知行星的运动轨道半径是（　　）

• A． R₀$\sqrt{（\frac{{t}_{0}-{T}_{0}}{{t}_{0}}）^{3}}$
• B． R₀$\sqrt{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{3}}$
• C． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$
• D． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}-{T}_{0}}{{t}_{0}}）^{2}}$

Answer 1

分析 A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期每隔t₀时间发生一次最大偏离，知每隔t₀时间两行星相距最近，可以求出B的周期，再根据万有引力提供向心力，得出轨道半径．

解答 解：周期每隔t₀时间发生一次最大偏离，知每隔t₀时间A、未知行星相距最近，
即每隔t₀时间A行星比未知行星多运行一圈．有：$\frac{2π}{{T}_{0}}$t₀-$\frac{2π}{{T}_{B}}$t₀=2π，
则T_B=$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，
根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{{R}_{0}}=\root{3}{\frac{{{T}_{B}}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}}$
则r_B=R₀$\root{3}{{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）}^{2}}$，故C正确，ABD错误．
故选：C

点评 解决本题的关键知道每隔t₀时间发生一次最大偏离，知每隔t₀时间A、B两行星相距最近，而得出每隔t₀时间A行星比未知行星多运行一圈．以及会利用万有引力提供向心力．