Question

3．设地球的半径为R₀，质量为m的人造卫星在距地面R₀高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 卫星的线速度为$\frac{\sqrt{2g{R}_{0}}}{2}$
• B． 卫星的角速度是$\sqrt{\frac{g}{2{R}_{0}}}$
• C． 卫星的加速度为$\frac{g}{2}$
• D． 卫星的周期为4π$\sqrt{\frac{2{R}_{0}}{g}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$=ma，万有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，求出卫星的线速度、角速度、周期和加速度．

解答 解：A、在地球的表面，万有引力等于重力$\frac{GMm}{{{R}_{0}}^{2}}=mg$，得GM=$g{{R}_{0}}^{2}$，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$=ma，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{2{R}_{0}}}=\frac{\sqrt{2g{R}_{0}}}{2}$．故A正确．
    B、同理得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{（2{R}_{0}）^{3}}}=\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}}}$．故B错误．
    C、同理得：$a=\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{（2{R}_{0}）^{2}}=\frac{g}{4}$．故C错误．
    D、卫星的周期：$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{g{{R}_{0}}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{8{R}_{0}}{g}}$．故D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$=ma以及万有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$．