Question

8．如图所示，在xoy平面的第II象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q两点，圆内存在垂直于xoy面向外的匀强磁场．在第I象限内存在沿轴y负方向的匀强电场，电场强度为E．一带正电的粒子（不计重力）以速率v₀从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（3R，0）点射出电场，出射方向与x轴正方向夹角为α，且满足α=45°，求：

（1）带电粒子的比荷；
（2）磁场磁感应强度B的大小；
（3）粒子从P点入射磁场到M点射出电场的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达M的速度方向可利用速度的合成与分解得知该点y方向的速度．结合牛顿第二定律求得粒子的比荷；
（2）根据运动学的公式，求出粒子进入电场时的位置，画出粒子运动的轨迹，根据图象中的几何关系求出粒子运动的半径，根据半径公式r=$\frac{mv}{qB}$求出磁感应强度；
（3）粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，求出在磁场中运动的轨迹半径，利用几何关系求出cosθ之值．

解答 解：（1）M处，根据平抛运动规律：
v_y=v₀tanα
qE=ma
v_y=at₃
3R=v₀t₃
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3RE}$
（2）粒子运动轨迹如图，设O₁为磁场的圆心，O₂为粒子轨迹圆心，P′为粒子射出磁场的位置，则：

P′O₂∥PO₁P₁；
速率v₀从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，
那么四边形O₁O₂P′P是菱形，
因此粒子的轨道半径为：r=R
Bqv₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
B=$\frac{3E}{{v}_{0}}$
（3）粒子从N进入电场，ON=y，
根据平抛运动规律：
y=$\frac{1}{2}$at₃²
qE=ma
3R=v₀t₃
得：y=$\frac{3}{2}$R
t₃=$\frac{3R}{{v}_{0}}$
y=R+Rcosθ
θ=$\frac{π}{3}$
P到P′的时间为t₁，
Bqv₀=m（$\frac{2π}{T}$）²r
t₁=$\frac{（π-θ）}{2π}$T
t₁=$\frac{2πm}{3qB}$=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$
P′N=$\frac{R-Rsinθ}{{v}_{0}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R
P到M的总时间为t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{8-\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R
答：（1）带电粒子的比荷为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3RE}$；
（2）磁场磁感应强度B的大小为$\frac{3E}{{v}_{0}}$；
（3）粒子从P点入射磁场到M点射出电场的时间为$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{8-\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．