题目内容

16．如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离．重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G．设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），$\overline{PQ}$=x，求：
（1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常．
（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在ξ与kξ（k＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积．

分析 （1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．
根据万有引力等于重力列出等式，结合几何关系求出空腔所引起的Q点处的重力加速度反常．
（2）由第一问当中的重力加速度反常的表达式得出重力加速度反常△g′的最大值和最小值．重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，则重力加速度反常最大值kg就是在P点！最小值g就是在Q点
重力加速度反常值在g与kg（k＞1）之间变化，带入等式求解．

解答 解：（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m△g①来计算，式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q点的距离r=$\sqrt{{d}^{2}+{x}^{2}}$③
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影△g′=$\frac{d}{r}△g$④
联立以上式子得△g′=$\frac{GρVd}{{（{d}^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$，⑤
（2）由⑤式得，重力加速度反常△g′的最大值和最小值分别为
（△g′）max=$\frac{GρV}{{d}^{2}}$⑥
（△g′）min=$\frac{GρVd}{{（{d}^{2}+{L}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$⑦
由题设有（△g′）max=kξ、（△g′）min=ξ⑧
联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
d=$\frac{L}{\sqrt{{k}^{\frac{2}{3}}-1}}$，V=$\frac{{L}^{2}kξ}{Gρ（{k}^{\frac{2}{3}}-1）}$
答：（1）空腔所引起的Q点处的重力加速度反常是$\frac{GρVd}{{（{d}^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$；
（2）此球形空腔球心的深度为$\frac{L}{\sqrt{{k}^{\frac{2}{3}}-1}}$，空腔的体积为$\frac{{L}^{2}kξ}{Gρ（{k}^{\frac{2}{3}}-1）}$．

点评 本题考查万有引力部分的知识，逆向思维．填满岩石就回到正常值，则反常就是这部分岩石的引力引起的．

练习册系列答案
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6．如图1所示，用“碰撞实验器“可以验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系：

先安装好实验装置，在地上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸，记下重垂线所指的位置O．
接下来的实验步骤如下：
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步骤3：用刻度尺分别测量三个落地点的平均位置M、P、N离O点的距离，即线段OM、OP、ON的长度．
①对于上述实验操作，下列说法正确的是ACD
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滚下
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C．斜槽轨道末端必须水平
D．小球1质量应大于小球2的质量
②上述实验除需测量线段OM、OP、ON的长度外，还需要测量的物理量有C．
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B．B点离地面的高度h2
C．小球1和小球2的质量m1、m2
D．小球1和小球2的半径r
③当所测物理量满足表达式m1•OP=m1•OM+m2•ON（用所测物理量的字母表示）时，即说明两球碰撞遵守动量守恒定律．如果还满足表达式m1•（OP）2=m1•（OM）2+m2•（ON）2（用所测物理量的字母表示）时，即说明两球碰撞时无机械能损失．
④完成上述实验后，某实验小组对上述装置进行了改造，如图2所示．在水平槽末端与水平地面间放置了一个斜面，斜面的顶点与水平槽等高且无缝连接．使小球1仍从斜槽上A点由静止滚下，重复实验步骤1和2的操作，得到两球落在斜面上的平均落点M′、P′、N′．用刻度尺测量斜面顶点到M′、P′、N′三点的距离分别为l1、l2、l3．则验证两球碰撞过程中动量守恒的表达式为${m}_{1}\sqrt{{l}_{2}}={m}_{1}\sqrt{{l}_{1}}+{m}_{2}\sqrt{{l}_{3}}$（用所测物理量的字母表示）．

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