Question

1．如图所示，AB是固定于竖直平面内的$\frac{1}{4}$圆弧形光滑轨道，末端B处的切线方向水平．一物体（可视为质点）P从圆弧最高点A处由静止释放，滑到B端飞出，落到地面上的C点．测得C点和B点的水平距离OC=L，B点距地面的高度OB=h．现在轨道下方紧贴B端安装一个水平传送带，传送带的右端与B点的距离为$\frac{L}{2}$．当传送带静止时，让物体P从A处由静止释放，物体P沿轨道滑过B点后又在传送带上滑行并从传送带的右端水平飞出，仍然落到地面上的C点．求：
（1）物体P与传送带之间的动摩擦因数；
（2）若在A处给物体P一个竖直向下的初速度v₀，物体P从传送带的右端水平飞出后，落在地面上的D点，求OD的大小；
（3）若传送带驱动轮顺时针转动，带动传送带以速度v匀速运动，再把物体P从A处由静止释放，物体P落到地面上．设着地点与O点的距离为x，求出x与传送带上表面速度v的函数关系．

Answer 1

分析 （1）先研究无传送带的情况：物体从B运动到C，做平抛运动，已知h和L，由平抛运动的规律求得物体在B点的速度v_B，再研究有传送带的情况：由平抛运动的规律求出物体离开传送带时的速度v₁，根据动能定理求得摩擦因数μ．
（2）根据动能定理研究物体离开传送带时的速度，由平抛运动的知识求得OD．
（3）通过物体P滑到底端的速度与传送带的速度进行比较，判断物体P在传送带上的运动情况，得出物体离开传送带的速度，根据平抛运动的知识求出水平位移．

解答 解：（1）无传送带时，物体从B运动到C，做平抛运动，设物体在B点的速度为v_B，
由L=v_Bt；
h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v_B=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
当有传送带时，设物体离开传送带时的速度为v₁，由平抛规律：
$\frac{L}{2}$=v₁t
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₁=L$\sqrt{\frac{g}{8h}}$；
由此可知物体滑上传送带时的初速度为v_B，末速度为v₁，物体的位移为$\frac{L}{2}$，此过程中只有传送带的摩擦力对物体做功，故根据动能定理有：
-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入v_B和v₁可解得：
μ=$\frac{3L}{8h}$；
（2）设物体离开传送带时的速度为v₂，物体从A滑到离开传送带的过程中，只有重力和传送带的摩擦力对物体做功，由动能定理有：
mgR-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
又物体从A滑至B的过程中有：
mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
所以有：
$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{3L}{8h}$×mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
又v_B=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
可解得：v₂=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}+{v}_{0}^{2}}$
物体离开传送带后做平抛运动，由题意根据平抛可知
OD=$\frac{L}{2}$+v₂t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}+{v}_{0}^{2}}$$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{{L}^{2}}{4}+\frac{2h{v}_{0}^{2}}{g}}$；
（3）物体由静止从P点开始下滑，到达B点的速度：
v_B=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
当物体滑上传送带全程加速时，物体滑离传送带时的速度v₂，根据动能定理有：
加速时摩擦力做正功，故有：
μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入数值可得：
v₂=$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$
所以当传送带的速度v＞$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$，物体离开传送带的速度v＞$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$，由题意根据平抛运动知识可知：
x=$\frac{L}{2}$+v₂t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{{L}^{2}+\frac{3}{4}{L}^{2}}$=$\frac{L}{2}$（1+$\sqrt{7}$）
同理有当物体由静止从P点开始下滑，达到B点的速度vB=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，当物体滑上传送带并在全程在摩擦力作用下做减速运动时，物体滑离传送带的时的速度为v₁，根据动能定理有：
减速时摩擦力做负功，故有：-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入相应数值可解得：v₁=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$
所以当传送带速度小于v＜$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$时，物体滑离传送带时的速度v₁=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$
所以可知；x=$\frac{L}{2}$+v₁t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=L
当传送带的速度满足：v₁≤v≤v₂时，物体在摩擦力作用下离开传送带时的速度大小都为v，
故此时x=$\frac{L}{2}$+v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）物体P与传送带之间的摩擦因数μ=$\frac{3L}{8h}$；
（2）若在A处给物体P一个竖直向下的初速度，物体P从传送带的右端水平飞出后，落到地面上的D点，OD的大小为$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{{L}^{2}}{4}+\frac{2h{v}_{0}^{2}}{g}}$；
（3）若驱动轮转动、带动传送带以速度v匀速运动，再把物体P从A处由静止释放，物体P落到地面上，设着地点与O点的距离为x，x与传送带上表面速度v的函数关系为：
1、x=L时，v＜$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$；
2、x=$\frac{L}{2}$+v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$时，$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$≤v≤$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$；
3、x=$\frac{L}{2}$（1+$\sqrt{7}$）时，v＞$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$．

点评 本题是机械能守恒、平抛运动，动能定理的综合应用，要具有分析物体运动过程的能力，能分情况全面分析物体的运动情况，要抓住平抛运动的时间由高度决定这一知识点．本题较难，易犯考虑不全面的错误．