Question

10．一电荷量为q（q＞0）、质量为m的带电粒子（不计重力），在匀强电场的作用下，在t=0时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图所示．求
（1）粒子从t=0到t=T的时间内运动的位移大小；
（2）若粒子从t=（n-1）T到t=nT（n为正整数）的时间内运动的位移为零，求n的值．

Answer 1

分析 （1）电子在0～$\frac{T}{2}$时间内做匀加速运动，在$\frac{T}{2}$～T时间内先做匀减速运动，后反向做初速度为零的匀加速运动，电子不能到达极板A的条件为电子运动位移之和小于板间距离
（2）电子在从t=（n-1）T到$t=（n-1）T+\frac{T}{2}$粒子运动的位移为x₁，从$t=（n-1）T+\frac{T}{2}$到t=nT粒子的位移为${x}_{2}^{\;}$，位移的矢量和，求出表达式，利用位移为零得到n的值

解答 解：（1）由题意可得在0～$\frac{T}{2}$：
根据牛顿第二定律为：${E}_{0}^{\;}q=m{a}_{1}^{\;}$
位移为：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}$
$\frac{T}{2}$时速度为：$v={a}_{1}^{\;}\frac{T}{2}$
$\frac{T}{2}$～T时间内，根据牛顿第二定律有：
$-\frac{19}{17}{E}_{0}^{\;}q=m{a}_{2}^{\;}$
位移为：${x}_{2}^{\;}=v\frac{T}{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}$
总位移为：$x={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}$
解得：$x=\frac{4{E}_{0}^{\;}q{T}_{\;}^{2}}{17m}$
（2）设t=（n-1）T、$t=（n-1）T+\frac{T}{2}$、t=nT时的速度分别为${v}_{1}^{\;}$、${v}_{2}^{\;}$、${v}_{3}^{\;}$
粒子在t=（n-1）T时刻，已经运动了n-1个电场变化的周期，所以有：
${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}\frac{n-1}{2}T+{a}_{2}^{\;}\frac{n-1}{2}T$
${v}_{2}^{\;}={a}_{1}^{\;}\frac{nT}{2}+{a}_{2}^{\;}\frac{nT}{2}$
设从t=（n-1）T到$t=（n-1）T+\frac{T}{2}$粒子运动的位移为x₁，从$t=（n-1）T+\frac{T}{2}$到t=nT粒子的位移为x₂
${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}×\frac{T}{2}$
${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{2}^{\;}+{v}_{3}^{\;}}{2}×\frac{T}{2}$
${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=0$
解得   n=5           
答：（1）粒子从t=0到t=T的时间内运动的位移大小为$\frac{4{E}_{0}^{\;}q{T}_{\;}^{2}}{17m}$；
（2）若粒子从t=（n-1）T到t=nT（n为正整数）的时间内运动的位移为零，n的值为5

点评 电子在交变电场中的变加速运动问题是考察的热点，重要的是分析清楚电子的运动情景，同时这种问题运算量较大，过程较为复杂，给学生造成较大的难度