Question

12．如图所示，光滑平台固定在水平面上，平台中央放有小物体A和B，两者彼此接触，物体A的上表面是半径为R（R＜＜L）的光滑半圆形轨道，现将一物体C从圆心等高处由静止沿轨道下滑，已知A，B，C的质量均为m，在运动过程中，A，C始终保持接触，试求：

（1）若锁定A物体，则物体C滑至轨道最低点时，轨道A受到的压力；
（2）若A未锁定，则物体A，B刚分离时，物体B的速度．
（3）在满足（2）的条件下，物体A，B分离后，物体C能到达距轨道最高点的高度．

Answer 1

分析 （1）若锁定A物体，则物体C滑至轨道最低点的过程中小球的机械能守恒，由机械能守恒求出小球的速度，然后结合牛顿第二定律即可求出小球对轨道A的压力；
（2）若A未锁定，则小球到达最低点后A、B分离，由动量守恒定律定律即可求出物体A，B刚分离时，物体B的速度．
（3）在满足（2）的条件下，物体A，B分离后，物体A与小球组成的系统的动量守恒，即可机械能守恒即可求出物体C能到达距轨道最高点的高度．

解答 解：（1）若锁定A物体，则物体C滑至轨道最低点的过程中小球的机械能守恒，由机械能守恒得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$
小球在最低点受到重力和支持力，${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：F_N=3mg
由牛顿第三定律可知，轨道A受到的压力是3mg．
（2）若A未锁定，则小球下滑的过程中，A与B一起向右运动，小球到达最低点后A、B分离，选取向左为正方向，设C的速度是v₁，A与B的速度是v₂，由动量守恒定律定律：mv₁+2mv₂=0
小球下滑的过程中，ABC组成的系统的机械能守恒，则：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}=mgR$
联立方程解得：${v}_{1}=2\sqrt{\frac{gR}{3}}$，${v}_{2}=-\sqrt{\frac{gR}{3}}$
（3）物体A，B分离后，小球C与A组成的系统的动能守恒，动量守恒，物体C能到达距轨道最高点时，C与A的速度相等，则：
mv₁+mv₂=2m•v₃
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+mgh$
联立得：${v}_{3}=\sqrt{\frac{gR}{12}}$，h=0.75R
答：（1）若锁定A物体，则物体C滑至轨道最低点时，轨道A受到的压力是3mg；
（2）若A未锁定，则物体A，B刚分离时，物体B的速度是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，方向向右．
（3）在满足（2）的条件下，物体A，B分离后，物体C能到达距轨道最高点的高度是0.75R．

点评 本题是三个物体组成系统的动量守恒问题，由于研究对象较多，所以难度系数稍微增大．