Question

19．2012年6月19日，“神州九号”载人飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了交会对接形成组合体．组合体的运行轨道可视为圆轨道，距地球表面高度为h．已知地球的半径为R、质量为M，万有引力常量为G．试求：
（1）神州九号与天宫一号组合体的线速度大小；
（2）神州九号与天宫一号组合体的运行周期大小；
（3）神州九号与天宫一号组合体的向心加速度大小．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=ma$，化简可以解得线速度、周期、加速度．

解答 解：（1）设卫星的线速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律有$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得卫星的线速度为v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得运行周期T=$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
（3）由于$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，解得向心加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
答：（1）神州九号与天宫一号组合体的线速度大小为$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
（2）神州九号与天宫一号组合体的运行周期大小为$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$；
（3）神州九号与天宫一号组合体的向心加速度大小为$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$．

点评 天体的运动主要依靠万有引力定律充当向心力，故分析天体的运动时一定要先从这一点进行分析，再结合所学过的运动学知识解决问题．