Question

7．如图所示，倾角为θ的斜面A固定在水平面上．木块B、C的质量分别为M、m，始终保持相对静止，共同沿斜面下滑．B的上表面保持水平，A、B之间的动摩擦因数为μ．分别求一下两种情况B、C所受的各力．
（1）当B、C共同匀速下滑；
（2）当B、C共同加速下滑．

Answer 1

分析 （1）：先分析C受的力．这时以C为研究对象，重力，B对C的支持力竖直向上，由于C在水平方向没有加速度，所以B、C间无摩擦力．
（2）由于B、C 共同加速下滑，加速度相同，所以先以B、C整体为对象求A对B的支持力、摩擦力，并求出加速度；再以C为对象求B、C间的弹力、摩擦．

解答 解：（1）B、C共同匀速下滑：对C分析：
自身重力：G_C=mg，方向竖直向下
合力为0，则竖直方向，B对C的支持力：N_B=mg，方向竖直向上
对B分析：
自身重力：G_B=Mg，方向竖直向下
C对B的压力：N_压=mg，方向竖直向下
垂直于斜面向上的支持力：N_支，
平行于斜面向上的摩擦力：f_B
合力为0，需满足：
垂直于斜面：N_支=（N_压+G_B）cosθ=（M+m）gcosθ
平行于斜面：f_B=（N_压+G_B）sinθ=（M+m）gsinθ
（2）对BC整体：
垂直于斜面：A对B的支持力：N=（M+m）gcosθ，方向垂直于斜面向上
平行于斜面：A对B的摩擦力：f=μN=（M+m）μgcosθ，方向平行于斜面向上
设加速度为a，（M+m）a=（M+m）gsinθ-f
解得：a=$\frac{（m+M）g（sinθ-μcosθ）}{m+M}$，方向平行于斜面向下，
C的加速度的竖直分量a_y=asinθ，方向竖直向下，
C的加速度的水平分量a_x=acosθ，方向水平向左，
对C受力分析：
C受自身重力：G′=mg，方向竖直向下；
根据牛顿第二定律，竖直方向有：mg-N′=ma_y
B对C的支持力：N′=mg-$\frac{mgsinθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向竖直向上；
B对C的静摩擦力：f′=ma_x=$\frac{mgcosθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向水平向左；
对B受力分析：
B受自身重力：G=Mg，方向竖直向下，
根据牛顿第三定律得：C给B的静摩擦力为：f=f′═$\frac{mgcosθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向水平向右，
C对B的压力为：N=N′=mg-$\frac{mgsinθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向竖直向下．
答：（1）当B、C共同匀速下滑，C受两个力：自身重力：G_C=mg，方向竖直向下；B对C的支持力：N_B=mg，方向竖直向上；
B受4个力：自身重力：G_B=Mg，方向竖直向下；C对B的压力：N_压=mg，方向竖直向下；A对B的支持力：N_支=（M+m）gcosθ，方向垂直于斜面向上；A对B的摩擦力：f_B=（M+m）gsinθ，方向平行于斜面向上；
（2）当B、C共同加速下滑．C受3个力：重力：G′=mg，方向竖直向下；B对C的支持力：N′=mg-$\frac{mgsinθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向竖直向上；B对C的静摩擦力：f′=ma_x=$\frac{mgcosθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向水平向左；
B受5个力：重力：G=Mg，方向竖直向下，A对B的支持力：N=（M+m）gcosθ，方向垂直于斜面向上；A对B的摩擦力：f=μN=（M+m）μgcosθ，方向平行于斜面向上；C给B的静摩擦力为：f=f′═$\frac{mgcosθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向水平向右；C对B的压力为：N=N′=mg-$\frac{mgsinθ（M+m）（sinθ-μcosθ）}{M}$，方向竖直向下．

点评 本题是整体法和隔离法的应用，要求同学们能正确对物体进行受力分析，并能灵活对题中给出的矢量进行分解研究．