Question

8．质量M=10kg的木板A沿水平面向右运动，与水平面之间的动摩擦因数等于μ₁=0.1，当木板A的速度v₀=5m/s时，在A的左端施加一个恒力F=35N，如图所示，同时在木板上面无初速度放上一个质量m=5kg的滑块B．已知滑块B右端的木板上表面粗糙，长度为12.5m，与滑块之间动摩擦因数μ₂=0.2，滑块左端的木板上表面包括滑块所放的位置为光滑，长度为2.5m．

（1）至少经过多长时间滑块和木板的速度相等．
（2）共经过多长时间滑块与木板分开？

Answer 1

分析 （1）对长木板受力分析，根据牛顿第二定律求出加速度，然后计算出长木板向右减速为0时运动的距离，再与L相比较，判断滑块能否从长木板的左端滑下；再计算后来长木板向左运动到二者速度相等的时间，求和即可．
（2）滑块从放到长木板上开始至离开长木板所用的时间就是这两个时间之和；

解答 解：（1）滑块刚刚放到长木板时，木板相对于滑块向右运动，受到的合力为0，故相对地面静止，对长木板受力分析，根据牛顿第二定律得
长木板的加速度${a}_{1}=\frac{F+{μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{35+0.1×（10+5）×10}{10}=5$m/s²
长木板向右减速为0运动的距离${x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{5}^{2}}{2×5}=2.5m$
该位移恰好等于木板左侧的长度，所以滑块没有掉落；
长木板向右运动的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=1s$
长木板向左运动的加速度${a}_{2}=\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{35-0.1×（10+5）×10}{10}=2m/{s}^{2}$
长木板向左的位移等于2.5m的时间：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=2.5$
代入数据得：${t}_{2}=\sqrt{2.5}$s≈1.58s
此时木块的速度：${v}_{1}={a}_{2}{t}_{2}=2\sqrt{2.5}$m/s≈1.58m/s
之后滑块相对于长木板向右运动，二者之间的摩擦力：f=μ₂mg=0.2×5×10=10N
滑块向左的加速度：${a}_{3}=\frac{f}{m}=\frac{10}{5}=2m/{s}^{2}$
木板的加速度：${a}_{4}=\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g-f}{M}=\frac{35-0.1×（10+5）×10-10}{10}=1m/{s}^{2}$
再经过时间t₃速度相等，得：v₁+a₄t₃=a₃t₃
联立得：t₃=1.58s
所以滑块和木板的速度相等的时间：t=t₁+t₂+t₃=1+1.58+1.58=4.16s
（2）滑块加速t₃时间内滑块与木板之间的相对位移：△x=${v}_{1}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{3}$
代入数据得：△x=1.2482m＜12.5m
结合（1）的分析可知，二者的速度相同后，滑块的加速度不可能再大于木板的加速度，则二者一起做加速运动，不可能再分离．
答：（1）经过4.16s时间滑块和木板的速度相等．
（2）滑块不可能与木板分开．

点评 可以用极端假设法判断小铁块能否从长木板的左端滑下，第（2）问注意对长木板的运动情况分段讨论，计算出小铁块从放到长木板上开始至离幵长木板所用的时间．