题目内容

7．面对近期华北地区严重的空气污染，某同学设计了一个如图所示的静电除尘器，该除尘器的上下底面是边长为 L 的正方形金属板，前后面是绝缘的透明有机玻璃，左右面是高为 h 的用绝缘透明有机玻璃制成可开启和关闭的通道口．使用时底面水平放置，两金属板连接到电压为 U 的高压电源两极（下板接负极），于是在两金属板间产生一个匀强电场（忽略边缘效应）．均匀分布的带电烟尘颗粒在单位体积内的烟尘个数为 n，已知每个烟尘颗粒质量为 m，带正电，电荷量为 q，不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒的重力．
（1）左右通道口关闭，假设烟尘颗粒开始都在容器内处于静止状态，在闭合开关后：
①经过多长时间颗粒可以被全部吸附？
②除尘过程中电场对烟尘颗粒共做多少功？
（2）左右通道口开启，假设烟尘颗粒以 v=10m/s 的水平速度从左向右通过除尘器，且 以上各物理量取值 U=1600V，L=0.20m，h=0.10m，n=1012 个/m3，q=+2.0×10-17C，m=1.0×10-15kg，在闭合开关后：
①求除尘过程中烟尘颗粒在竖直方向所能偏转的最大距离；
②除尘效率是衡量除尘器性能的一个重要参数．除尘效率是指一段时间内被吸附的烟尘颗粒数量与进入除尘器烟尘颗粒总量的比值．试求在上述情况下该除尘器的除尘效 率；若用该除尘器对上述比荷的颗粒进行除尘，试通过分析给出在保持除尘器通道大小不变的前提下，提高其除尘效率的方法（提出一种方法即可）．

分析 （1）在本题中带电颗粒做初速度为零的匀加速运动直到到达负极板为止，当离负极板最远的粒子到达负极板时，所有颗粒全部被吸收；由于颗粒均匀分布在密闭容器内，可以等效为所有颗粒从两极板中间被加速到负极板，从而求出电场对颗粒做的总功．
（2）①通道内只受电场力，由牛顿第二定律可求得加速度；带电粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成与分解可求得偏转的最大的距离；
    ②根据进入的颗粒及吸附的颗粒可知吸附的效率

解答 解：（1）①当最靠近上板的尘粒运动到下板时，全部烟尘就被吸附，设需时间t，烟尘颗粒受到的电场力：
F=qE=$\frac{qU}{h}$
从盒子最上端运动到盒底的尘粒运动时间设为t，则有：
h=$\frac{1}{2}a{t^2}$
联立得：$t=h\sqrt{\frac{2m}{qU}}$
②设容器容积为V，电源接通前尘粒总数为N，则有：
N=nV=nhL2  
电场对烟尘做的总功为：W=$\frac{1}{2}$NqU=$\frac{1}{2}$nhL2qU 
（2）①烟尘颗粒在通道内只受电场力的作用，电场力为：F=qE     
又因为$E=\frac{U}{h}$
设烟尘颗粒在通道内运动时加速度为a，根据牛顿第二定律有：$\frac{Uq}{h}=ma$
若通道最上方的颗粒能通过通道，则这些颗粒在竖直方向上有最大的偏转距离
这些颗粒在水平方向的位移为：L=vt                            
在竖直方向的位移为：h′=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立解得：h′=$\frac{qU{L}^{2}}{2mh{v}^{2}}$
代入数据对：h′=0.064m＜h=0.10m，可确定这些颗粒能通过通道后在竖直方向所能偏转的最大距离为0.064m
②每立方米有烟尘颗粒为n，时间t内进入除尘器的颗粒：N1=nhLvt                        
时间t内吸附在底面上的颗粒：N2=nh?Lvt                     
则除尘效率：η=$\frac{nh′Lvt}{nhLvt}$=$\frac{h′}{h}$=$\frac{0.064}{0.10}$=64% 
可知，在保持除尘器通道大小 不变的前提下，提高其除尘效率的方法就是增大h′，结合上一步的分析可知，要增大h′，则需要增大金属极板之间的电压，或减小颗粒进入通道的速度．
答：（1）左右通道口关闭，假设烟尘颗粒开始都在容器内处于静止状态，在闭合开关后：
①经过时间$h\sqrt{\frac{2m}{qU}}$颗粒可以被全部吸附；
②除尘过程中电场对烟尘颗粒共做功为$\frac{1}{2}$nhL2qU；
（2）左右通道口开启，假设烟尘颗粒以 v=10m/s 的水平速度从左向右通过除尘器，且 以上各物理量取值 U=1600V，L=0.20m，h=0.10m，n=1012 个/m3，q=+2.0×10-17C，m=1.0×10-15kg，在闭合开关后：
①除尘过程中烟尘颗粒在竖直方向所能偏转的最大距离为0.064m；
②在上述情况下该除尘器的除尘效 率为64%；若用该除尘器对上述比荷的颗粒进行除尘，在保持除尘器通道大小 不变的前提下，提高其除尘效率的方法：增大金属极板之间的电压，或减小颗粒进入通道的速度．

点评 本题属于较难题目，考查带电粒子在电场中的运动，由于结合生活中的常识，故有一定的难度，在解答时应注意审题，明确题意，构建模型才能顺利求解．

练习册系列答案
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