Question

10．如图所示，坐标系xOy的第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方一半径为R、与x轴相切于O点的圆区域内，有方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$的匀强磁场．一质量为m、带电量为+q的带电粒子，从P（-2$\sqrt{3}$L，L）点以速度v₀平行于x轴射出，从O点进入磁场区域，不计粒子重力．求：
（1）匀强电场的电场强度；
（2）粒子第一次射出磁场时的坐标；
（3）粒子从O点射入磁场到第一次离开磁场经历的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子从P到O是类似平抛运动，根据类平抛运动的分运动公式列式分析即可；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，先根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，画出运动轨迹，结合几何关系求解第一次射出磁场时的坐标；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，先结合几何关系确定圆心角，根据t=$\frac{θ}{2π}T$求解时间．

解答 解：（1）粒子从P到O是类似平抛运动，根据分位移公式，有：
x=2$\sqrt{3}$L=v₀t  ①
y=L=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$  ②
解得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qL}$
（2）粒子从P到O是类似平抛运动，根据分速度公式，有：
v_x=v₀   ③
${v}_{y}=\frac{qE}{m}t$  ④
合速度：
v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$  ⑤
速度偏转角的正切值：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$   ⑥
联立①③④⑤⑥解得：
v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
α=30°
粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径为：
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m（\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}）}{q（\frac{2m{v}_{0}}{qR}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
画出在磁场中的运动轨迹，如图所示：

设第一次射出磁场时的坐标为（-x，-y）；
图中三角形OO′O₁中，∠OO₁O′=∠OO′O₁=30°
三角形OO′O₁与三角形AO′O₁是全等的，故：
A点坐标为：（-Rcos30°，-R+Rsin30°），即（-$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，-$\frac{R}{2}$）；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心角为240°，故时间：
t=$\frac{2}{3}T=\frac{2}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πm}{3q×\frac{2m{v}_{0}}{qR}}$=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
答：（1）匀强电场的电场强度为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qL}$；
（2）粒子第一次射出磁场时的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，-$\frac{R}{2}$）；
（3）粒子从O点射入磁场到第一次离开磁场经历的时间为$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$．

点评 本题关键是明确粒子先做类似平抛运动，后做匀速圆周运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解末速度大小和方向；在磁场中关键是画出轨迹，结合几何关系分，不难．