Question

2．如图所示，光滑绝缘的半圆形轨道固定于竖直平面内，半圆形轨道与光滑绝缘的水平地面相切于半圆的端点A．一质量为m的小球在水平地面上匀速运动，速度为v，经A运动到轨道最高点B，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）．已知整个空间存在竖直向下的匀强电场，小球带正电荷，小球所受电场力的大小等于mg，g为重力加速度．
（1）若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力；
（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值；
（3）轨道半径多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大？

Answer 1

分析 （1）先由动能定理求出小球到达B点时的速度大小，再由牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，即可由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）当小球对轨道的压力恰好为零时，求出轨道半径的最大值R_m；
（3）小球离开B点后做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，再根据初速度和时间求出平抛运动的水平位移表达式，运用数学知识求解．

解答 解：由题意可知，电场力：F=qE=mg，方向：竖直向下；
（1）小球从A到B过程，由动能定理得：-mg•2R-F•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²，
在B点，由牛顿第二定律得：mg+F+N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：N=$\frac{m{v}^{2}}{R}$-10mg，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力：N′=N=$\frac{m{v}^{2}}{R}$-10mg，方向：竖直向上；
（2）小球从A到B过程，由动能定理得：-mg•2R-F•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²，
小球恰好运动到B点时，小球对轨道压力为零，
在B点，由牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{max}}$，
解得：R_max=$\frac{{v}^{2}}{2g}$-4R；
（3）小球离开B点做平抛运动，
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x=v_Bt，
解得：x=$\sqrt{-32{R}^{2}+\frac{4{v}^{2}}{g}R}$=$\sqrt{-32（R-\frac{{v}^{2}}{16g}）^{2}+\frac{{v}^{4}}{8{g}^{2}}}$，
当：R=$\frac{{v}^{2}}{16g}$，水平位移最大，为：x_max=$\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{4g}$；
答：（1）小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力大小为：$\frac{m{v}^{2}}{R}$-10mg，方向：竖直向上；
（2）轨道半径的最大值为：$\frac{{v}^{2}}{2g}$-4R；
（3）轨道半径为R=$\frac{{v}^{2}}{16g}$时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大，最大距离为$\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{4g}$．

点评 本题综合运用了动能定理、牛顿第二定律、平抛运动，综合性较强，关键理清过程，选择适当的定理或定律进行解题．