题目内容
15．
在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图甲所示．第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E1．坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E2=$\frac{1}{2}$E1，匀强磁场方向垂直纸面．处在第三象限的发射装置（图中未画出）竖直向上射出一个比荷$\frac{q}{m}$=102C/kg的带正电的粒子（可视为质点），该粒子以v0=4m/s的速度从-x上的A点进入第二象限，并以v1=8m/s速度从+y上的C点沿水平方向进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），g=10m/s2．试求：（1）带电粒子运动到C点的纵坐标值h及电场强度E1；
（2）+x轴上有一点D，OD=OC，若带电粒子在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其恰能沿x轴正方向通过D点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0；
（3）要使带电粒子通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足的关系．
分析 （1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，得出两个方向上的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律求出带电微粒运动到C点的纵坐标值h及电场强度E1；
（2）若带电微粒在通过C点后的运动过程中不再越过y轴，要使其恰能沿x轴正方向通过D点，作出粒子的运动的轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力，得出粒子在磁场中运动的半径大小，结合几何关系，求出磁感应度的通项表达式，再根据周期的关系求出磁场的变化周期T0的通项表达式．
（3）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时，根据几何关系求出圆心角的大小，从而求出T0的范围，以及B0 T0应满足的关系．
解答 解：（1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做匀加速直线运动．则有
$t=\frac{{v}_{0}}{g}=0.4s$，
$h=\frac{{v}_{0}}{2}t=0.8m$，
${a}_{x}=\frac{{v}_{1}}{t}=2g$，
qE1=2mg，
联立并代入数据解得：E1=0.2N/C
（2）qE2=mg，所以带电的粒子在第一象限将做匀速圆周运动，设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T，则有：$q{v}_{1}{B}_{0}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
可得：$R=\frac{0.08}{{B}_{0}}$
使粒子从C点运动到D点，则有：
$h=（2n）R=（2n）\frac{0.08}{{B}_{0}}$，B0=0.2n（T）（n=1，2，3…）
$T=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
$\frac{{T}_{0}}{2}=\frac{T}{4}$，
解得：${T}_{0}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}}=\frac{π}{20n}（s）（n=1，2，3…）$
（3）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时可作如图运动情形：
由图可知$θ=\frac{5π}{6}$，${T}_{0}≤\frac{5}{6}T=\frac{5π}{300{B}_{0}}$，
则${T}_{0}{B}_{0}≤\frac{π}{60}$
答：（1）带电粒子运动到C点的纵坐标值h为0.8m，电场强度E1为0.2N/C；
（2）磁感应强度B0为0.2n（T）（n=1，2，3…），其磁场的变化周期T0为$\frac{π}{20n}（s）（n=1，2，3…）$；
（3）交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足${T}_{0}{B}_{0}≤\frac{π}{60}$．
点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．
一种离子分析器简化结构如图所示．电离室可将原子或分子电离为正离子，正离子陆续飘出右侧小孔（初速度视为零）进入电压为U的加速电场，离开加速电场后从O点沿x轴正方向进入半径为r的半圆形匀强磁场区域，O点为磁场区域圆心同时是坐标原点，y轴为磁场左边界．该磁场磁感应强度连续可调．在磁场的半圆形边界上紧挨放置多个“探测-计数器”，当磁感应强度为某值时，不同比荷的离子将被位置不同的“探测-计数器”探测到并计数．整个装置处于真空室内．某次研究时发现，当磁感应强度为B0时，仅有位于P处的探测器有计数，P点与O点的连线与x轴正方向夹角
如图所示一等腰直角三角形中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，三角形腰长为2L，一个边长为L的导线框ABCD自右向左匀速通过该区域，则回路中A、C两点电势差UAC随时间的变化关系图象应为（ ）| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T，将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
如图所示，a、b、c是面积相等的三个圆形匀强磁场区域，图中的虚线是三个圆直径的连线，该虚线与水平方向的夹角为45°．一不计重力的带电粒子，从a磁场的M点以初速度v0竖直向上射入磁场，运动轨迹如图，最后粒子从c磁场的N点离开磁场．已知粒子的质量为m，电荷量为q，匀强磁场的磁感应强度大小为B，则（ ）| A． | a和c磁场的方向垂直于纸面向里，b磁场的方向垂直于纸面向外 | |
| B． | 粒子在N点的速度方向水平向右 | |
| C． | 粒子从M点运动到N点的时间为$\frac{3πm}{2qB}$ | |
| D． | 粒子从M点运动到N点的时间为$\frac{6πm}{qB}$ |
如图所示，在虚线所示的宽度范围内，存在竖直向下的电场强度为E的匀强电场，某种正离子以初速度V0垂直于左边界射入，离开右边界时的偏转角为θ，在同样宽度范围内，若只存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，使该粒子以原来的初速度穿过该区域，偏转角扔为θ，（不计离子的重力），求：
如图所示，在xoy坐标系的第一象限，y轴和x=L的虚线之间有一方向沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E0，第一象限虚线x=L的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场．在y轴左侧及虚线MN之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，M点的坐标为（0，-2L），MN与y轴正向的夹角为30°．在第四象限有沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、带电量为q的带正电的粒子从电场中紧靠虚线x=L的A点由静止释放，A点的纵坐标y=L，结果粒子恰好不从MN穿出，粒子经第四象限的电场偏转后经x轴上的P点（2L，0）进入第一象限的磁场中，结果粒子从x=L的虚线上的D点垂直虚线进入第一象限的电场．不计粒子的重力，求：
质量为m，带电量为q的微粒，以速度v与水平方向成45°角进入匀强电场和匀强磁场同时存在的空间（如图所示），微粒在电场、磁场、重力场的共同作用下做匀速直线运动，则带电粒子运动方向为沿轨迹向右上方，带电粒子带正电；电场强度大小为$\frac{mg}{q}$，磁感应强度的大小为$\frac{\sqrt{2}mg}{qv}$．| A． | $\frac{s}{t_0}$ | B． | $\frac{{2（\sqrt{2}-1）s}}{t_0}$ | C． | $\frac{{2s（2-\sqrt{2}）}}{t_0}$ | D． | $\frac{{s（2-\sqrt{2}）}}{t_0}$ |