Question

8．多工厂的流水线上安装有传送带，用传送带传送工件，可以大大提高工作效率．传送带以恒定的速率v=2m/s运送质量为m=0.5kg的工件，工件从A位置放到传送带上，它的初速度忽略不计．工件与传送带之间的动摩擦因数$μ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，传送带与水平方向夹角是θ=30°，传送带AB长度是l=16.8m；每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时后一个工件立即放到传送带上，取g=10m/s²，求：
（1）工件放到传送带后经多长时间停止相对滑动？
（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离？
（3）在工件加速阶段传送带上摩擦力对每个工件做的功？
（4）在工件加速阶段传送带克服摩擦力做的功？
（5）每个工件与传送带之间由于摩擦产生的内能？
（6）正常工作中传送带上一直有多少个工件在运动？
（7）传送带克服摩擦力做功的功率？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出工件上滑的加速度，结合速度时间公式求出工件与传送带相对静止所需的时间；
（2）工件放上传送带后先做匀加速直线运动，速度达到传送带速度后，做匀速直线运动，结合运动学公式求出在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离；
（3、4）工件在匀加速运动阶段，滑动摩擦力做正功，结合匀加速运动的位移求出摩擦力对每个工件做功的大小以及传送带克服摩擦力做的功；
（5）根据运动学公式求出工件和传送带之间的相对运动位移大小，结合Q=fx_相对求出摩擦产生的内能；
（6、7）根据相邻工件间的距离求出传送带上工件的个数，从而得出传送带需施加的摩擦力大小，结合P=fv求出传送带克服摩擦力做功的功率．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma，
解得：a=μgcosθ-gsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-10×$\frac{1}{2}$m/s2=2.5m/s²；
根据v=at得工件放到传送带后相对静止所经历的时间为：t=$\frac{v}{a}=\frac{2}{2.5}$s=0.8s．
（2）停止滑动前，工件相对地移动的距离为：l₁=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×2.5×0.8²=0.8m，
则在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离为：△l=vt+$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at²=vt=2×0.8m=1.6m，
（3）在工件加速阶段传送带上摩擦力对每个工件做的功为：W₁=f₁l₁=μmgcosθ•l₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×0.8=3J，
（4）在工件加速阶段传送带的位移为：x₂=vt=1.6m，
此过程中，传送带克服摩擦力做的功为：W₂=f₁x₂=6J，
（5）每个工件与传送带之间由于摩擦产生的内能为：Q=f1△s=μmgcosθ（vt-$\frac{1}{2}$vt）=$\frac{15}{4}$×（1.6-0.8）J=3J．
（6）n=$\frac{l}{△l}=\frac{16.8}{1.6}$=10.5，所以正常工作中皮带上共有工件11个工件在运动，
（7）满载时皮带上共有工件11个，其中10个在做匀速直线运动，
f_总=f₁+10f₂=28.75N
所以传送带克服摩擦力做功的功率P=f_总v=28.75×2=57.5W．
答：（1）工件放到传送带后经0.8s时间停止相对滑动；
（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离为1.6m；
（3）在工件加速阶段传送带上摩擦力对每个工件做的功为3J；
（4）在工件加速阶段传送带克服摩擦力做的功为6J；
（5）每个工件与传送带之间由于摩擦产生的内能为3J；
（6）正常工作中传送带上一直有11个工件在运动；
（7）传送带克服摩擦力做功的功率为57.5W．

点评 本题一方面要分析工件的运动情况，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解相对位移，即可求出摩擦产生的热量，另一方面要分析能量如何转化，难度适中．