Question

15．无限长通电螺线管内部的磁场可认为是匀强磁场．现有一个足够长螺线管1，半径为R，甲图是它的横截面图，圆心为O点．在螺线管1中通入顺时针的随时间变化的电流I=2t，它在螺线管内部产生的磁场为B=2kI．在P处放置一个单匝、半径为 r（r＜R）的圆形导体框，圆心亦在O处，则：
（1）线框中产生的感应电动势?多大？（不考虑感应电流对螺线管磁场的影响）
（2）产生上述感应电动势的原因可概括为：变化的磁场在P处产生了一个电场线闭合的环形感应电场E（不是静电场），如图乙所示，感应电场力（是非静电力）对导体内电荷做功，形成感应电动势．已知感应电动势的大小等于每库仑正电荷沿导体框运动一周时感应电场力对该电荷做的功的大小，由此请求出P处的感应电场的场强E的大小．
（3）现撤去导体框，在距圆心O为r′（ r′＜R）处由静止释放一点电荷（电量为q，质量为m，忽略其所受重力），由t=0时刻释放，要让该点电荷恰好能绕O点做半径为r′的圆周运动，需要在点电荷的圆轨道带（即丙图两虚线间的中间区域，该区域的宽度相比r′可以忽略不计）再加一个匀强磁场B₁，求B₁的表达式和方向．

Answer 1

分析 （1）依据电流I=2t，及磁场为B=2kI，从而确定磁场与时间的关系，再依据法拉第电磁感应定律，即可求解；
（2）根据感应电场力做功：W=Eq•2πr，结合?=$\frac{W}{q}$，即可求解电场强度；
（3）依据牛顿第二定律，及运动学公式，及洛伦兹力提供向心力，即可求解．

解答 解：（1）由题意可知：B=4kt                              
所以感应电动势为：?=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△B}{△t}S$=4kπr²              
（2）设正电荷带电量为q，运动一周，感应电场力做功：W=Eq•2πr     
?=$\frac{W}{q}$=$\frac{Eq•2πr}{q}$=2πrE                           
所以：E=$\frac{?}{2πr}$=2kr                            
（3）据（2）知，在r′处会出现环形感应电场：E′=2kr′
在沿圆轨道的切线方向，电荷加速：
qE′=ma
且v=at
又电荷做圆周运动，故：qv（B+B₁）=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$
联立以上三式：B₁=-2kt
即在轨道带加一个垂直纸面向外、大小与时间关系为B₁=2kt的磁场；
答：（1）线框中产生的感应电动势4kπr²；
（2）P处的感应电场的场强E的大小2kr．
（3）B₁的表达式B₁=2kt和方向垂直纸面向外．

点评 考查法拉第电磁感应与牛顿第二定律的内容，掌握圆周运动中由洛伦兹力提供向心力的表达式，注意感应电动势与电场强度物量的符号区别．