Question

6．若已知引力常量 G，则利用下列哪组数据可以算出地球的质量（　　）

• A． 一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的质量和地球表面的重力加速度
• B． 一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的质量和地球的第一宇宙速度
• C． 一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的运行速率和周期
• D． 地球绕太阳公转的周期和轨道半径

Answer 1

分析 万有引力的应用之一就是计算中心天体的质量，计算原理就是万有引力提供球绕天体圆周运动的向心力，列式只能计算中心天体的质量．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力得$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，卫星质量同时出现在等号两边被约掉，$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，必须还要知道地球半径才能求出地球质量，故A错误．
B、根据近地卫星与地球之间的万有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，卫星质量约掉，仅知道第一宇宙速度，必须还要加上地球半径才能求出地球质量，故B错误．
C、由$v=\frac{2πr}{T}$得$r=\frac{vT}{2π}$，根据万有引力提供向心力得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，能求出地球质量，故C正确．
D、中心天体是太阳，故无法求地球质量，故D错误．
故选：C

点评 万有引力提供向心力，根据数据列式可求解中心天体的质量，注意向心力的表达式需跟已知量相一致．